5027720111

Modelowanie Matematyczne w Fizyce i Technice

NUMERYCZNE ROZWIĄZANIE PROBLEMU Z RUCHOMYM BRZEGIEM DLA RÓWNANIA SUBDYFUZJI W MODELOWANIU UWALNIANIA LEKÓW

Marek Błasik

Instytut Matematyki, Politechnika Częstochowska,

Częstochowa, Polska [e-mail]

W referacie zaproponowano metodę numeryczną rozwiązania modelu matematycznego opisującego proces uwalniania leku z matrycy polimerowej. Jeden z pierwszych modeli poświęconych tego typu zjawiskom został zaproponowany przez Higuchiego [1] jako problem z ruchomym brzegiem, który nosi również nazwę problemu Stefana. Obecnie klasyczny już problem Stefana doczekał się uogólnienia w przypadku anomalnego transportu cząstek czy energii. Pierwsza praca poświęcona zagadnieniu niecałkowitego rzędu pojawiła się w roku 2004 i dotyczyła matematycznego modelowania procesu kontrolowanego uwalniania leku z matrycy polimerowej [2]. W referacie rozpatrzono model ułamkowego rzędu, znany z literatury w postaci równania subdyfuzji:

^cD“,c(x,t) = D„^ac(^^t). 0<x<s(t)<1, 0<t<t*,    (1)

dx

uzupełnionego warunkami brzegowymi

c(0,t) = 0, c(s(t),t) = c_s, 0<t<t*,    (2)

warunkami początkowymi

c(0,0) = c_s, s(0) = 0

oraz warunkiem brzegowym Stefana

(c₀ -c_s)'D“_{+ t}s(t) = D

5c(x,t) 5x ,

(3)

(4)

gdzie D_a oznacza współczynnik dyfuzji anomalnej, natomiast c₀,c_s odpowiednio początkową koncentrację leku oraz jego rozpuszczalność. Proponowany w pracy model matematyczny jest dwuetapowy i uwzględnia transport cząstek w przypadku, gdy lek obecny w matrycy jest w pełni rozpuszczony. Drugi etap uwalniania leku przebiega dla t >t i modelowany jest równaniem subdyfuzji:

12