ÿþM i e j s c e n a i d e n t y f i k a c j s z k o By
A R K U S Z P R Ó B N E J M A T U R Y
Z O P E R O N E M
M A T E M A T Y K A
L I S T O P A D
2 0 1 3
P O Z I O M P O D S T A W O W Y
C z a s p r a c y : 1 7 0 m i n u t
I n s t r u k c j a d l a z d a j c e g o
1 . S p r a w d z, c z y a r k u s z e g z a m i n a c y j n y z a w i e r a 1 6 s t r o n ( z a d a n i a 1 . 3 3 . ) .
E w e n t u a l n y b r a k z g Bo [ p r z e w o d n i c z c e m u z e s p o Bu n a d z o r u j c e g o e g -
z a m i n .
2 . R o z w i z a n i a z a d a D i o d p o w i e d z i z a p i s z w m i e j s c u n a t o p r z e z n a c z o n y m .
3 . W z a d a n i a c h z a m k n i t y c h ( 1 . 2 4 . ) z a z n a c z p o p r a w n o d p o w i e d z.
4 . W r o z w i z a n i a c h z a d a D o t w a r t y c h ( 2 5 . 3 3 . ) p r z e d s t a w t o k r o z u m o w a n i a
p r o w a d z c y d o o s t a t e c z n e g o w y n i k u .
5 . P i s z c z y t e l n i e . U |y w a j d Bu g o p i s u / p i ó r a t y l k o z c z a r n y m t u s z e m / a t r a -
m e n t e m .
6 . N i e u |y w a j k o r e k t o r a , a b Bd n e z a p i s y w y r a zn i e p r z e k r e [l .
7 . Z a p i s y w b r u d n o p i s i e n i e b d o c e n i a n e .
8 . O b o k n u m e r u k a |d e g o z a d a n i a p o d a n a j e s t m a k s y m a l n a l i c z b a p u n k t ó w
m o |l i w y c h d o u z y s k a n i a .
Z a r o z w i z a n i e
9 . M o |e s z k o r z y s t a z z e s t a w u w z o r ó w m a t e m a t y c z n y c h , c y r k l a i l i n i j k i
w s z y s t k i c h z a d a D
o r a z k a l k u l a t o r a .
m o |n a o t r z y m a
Bc z n i e 5 0 p u n k t ó w .
{y c z y m y p o w o d z e n i a !
W p i s u j e z d a j c y p r z e d r o z p o c z c i e m p r a c y
K O D
P E S E L Z D A J C E G O Z D A J C E G O
A r k u s z o p r a c o w a n y p r z e z W y d a w n i c t w o P e d a g o g i c z n e O P E R O N .
K o p i o w a n i e w c a Bo [c i l u b w e f r a g m e n t a c h b e z z g o d y w y d a w c y z a b r o n i o n e . W y d a w c a z e z w a l a n a k o p i o w a n i e z a d a D p r z e z
d y r e k t o r ó w s z k ó B b i o r c y c h u d z i a B w p r o g r a m i e P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M .
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
Z A D A N I A Z A M K N I T E
W z a d a n i a c h o d 1 . d o 2 4 . w y b i e r z i z a z n a c z j e d n p o p r a w n o d p o w i e d z.
Z a d a n i e 1 . ( 1 p k t )
3 1 8
S u m a l i c z b y o d w r o t n e j d o l i c z b y - 4 i l i c z b y p r z e c i w n e j d o l i c z b y j e s t r ó w n a :
5 2 3
2 1
A . - 1 B . 0 C . - D . 1
2 3
Z a d a n i e 2 . ( 1 p k t )
1
W a r t o [ w y r a |e n i a l o g 3 1 5 - l o g 3 5 j e s t r ó w n a :
2
1
A . - 1 B . l o g 3 3 5 C . D . 1
2
Z a d a n i e 3 . ( 1 p k t )
S u m a p r z e d z i a Bó w - 1 1 *" 7 , + " j e s t z b i o r e m r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i :
( - ",
) ( )
A . x + 1 > 1 0 B . x + 2 > 9 C . x - 2 > 1 1 D . x + 1 < 1 0
Z a d a n i e 4 . ( 1 p k t )
N i e c h k = 2 - 3 2 , z a [ m = 1 - 2 . W ó w c z a s w a r t o [ w y r a |e n i a k 2 - 1 2 m j e s t r ó w n a :
A . 2 1 + 1 2 2 B . 2 1 - 1 2 2 C . 1 0 D . 3 4
Z a d a n i e 5 . ( 1 p k t )
L i c z b a a s t a n o w i 4 0 % l i c z b y b . W ó w c z a s :
A . b = 0 , 4 a B . b = 0 , 6 a C . b = 2 , 5 a D . b = 0 , 2 5 a
Z a d a n i e 6 . ( 1 p k t )
x + 3
D z i e d z i n f u n k c j i f x = j e s t z b i ó r :
( )
x 3 + 4 x
A . R \ 0 B . R \ 0 C . R D . R \ 0 , 2
{ - 4 ,
} { } { - 2 ,
}
Z a d a n i e 7 . ( 1 p k t )
P r o s t e o r ó w n a n i a c h - 3 y - m x + 1 2 = 0 o r a z y = 6 x - 1 2 s p r o s t o p a d Be d l a m r ó w n e g o :
1 1
A . B . - 1 8 C . - D . 6
2 2
2
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
B R U D N O P I S ( n i e p o d l e g a o c e n i e )
3
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
Z a d a n i e 8 . ( 1 p k t )
Z b i o r e m w a r t o [c i f u n k c j i f x = - 2 x + 3 x - 4 j e s t p r z e d z i a B:
( ) ( ) ( )
ëø
öø öø öø
1 1 1 1
A . ìø- ", 2 4 B . - 2 4 , + "÷ø C . 2 4 , + "÷ø D . - 2 5 , + "÷ø
ìø ÷ø ÷ø ÷ø
÷ø ÷ø ÷ø
ìø
ìø
íø 2 2 øø 2 øø 2 øø
Z a d a n i e 9 . ( 1 p k t )
N a w y k r e s i e p r z e d s t a w i o n y j e s t t r ó j m i a n y = a x 2 + b x + c .
y
0 x
W y n i k a z t e g o , |e :
A . b < 0 B . b > 0 C . b £ 0 D . b ³ 0
Z a d a n i e 1 0 . ( 1 p k t )
W i e l o m i a n W x j e s t s t o p n i a c z w a r t e g o . P i e r w i a s t k i e m d w u k r o t n y m t e g o w i e l o m i a n u j e s t
( )
l i c z b a - 1 . P o r o z Bo |e n i u n a c z y n n i k i w i e l o m i a n t e n m o |e b y p o s t a c i :
A . - 2 x - 1 x 2 + 1 B . x + 1 x - 4
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )
C . - ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x + 1 x 2 + 3 D . x - 1 x + 1 x + 2 x - 3
Z a d a n i e 1 1 . ( 1 p k t )
x + 3 x 2
( ) - 4
( )
L i c z b a r ó |n y c h r o z w i z a D r ó w n a n i a = 0 w y n o s i :
x 2 + 2 x
A . 5 B . 4 C . 3 D . 2
Z a d a n i e 1 2 . ( 1 p k t )
ëø öø
1 3
D a n a j e s t f u n k c j a h x = ìø- m + 2 ÷ø x + m - 1 . F u n k c j a t a d l a a r g u m e n t u 0 p r z y j m u j e w a r -
( ) ÷ø
ìø
÷ø
ìø
íø 3 øø 2
t o [ 5 . W ó w c z a s :
A . m = 9 B . m = 6 C . m = 4 D . m = 2
Z a d a n i e 1 3 . ( 1 p k t )
C i g b n o k r e [l o n y j e s t w z o r e m b n =
( ) ( - 1 n + 1 . S u m a d w ó c h p i e r w s z y c h w y r a z ó w t e g o
) 2 n + 3 ( )
c i g u j e s t r ó w n a :
A . - 5 B . - 1 C . 1 D . 5
4
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
B R U D N O P I S ( n i e p o d l e g a o c e n i e )
5
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
Z a d a n i e 1 4 . ( 1 p k t )
W c i g u a r y t m e t y c z n y m p i t y w y r a z j e s t r ó w n y 8 , z a [ s i ó d m y w y r a z t e g o c i g u j e s t r ó w n y 1 4 .
D z i e s i t y w y r a z t e g o c i g u j e s t r ó w n y :
A . 2 1 B . 2 3 C . 2 4 D . 3
Z a d a n i e 1 5 . ( 1 p k t )
P a n N o w a k w p Ba c i B d o b a n k u k z B n a p r o c e n t s k Ba d a n y . O p r o c e n t o w a n i e w t y m b a n k u w y n o s i
4 % w s k a l i r o k u , a o d s e t k i k a p i t a l i z u j e s i c o p ó B r o k u . P o 6 l a t a c h o s z c z d z a n i a P a n N o w a k
z g r o m a d z i n a k o n c i e k w o t :
A . k 1 + 0 , 0 2 z B B . k 1 + 0 , 0 4 z B
( ) 1 2 ( ) 1 2
C . k 1 + 0 , 0 2 z B D . k 1 + 0 , 4 z B
( ) 6 ( ) 6
C
Z a d a n i e 1 6 . ( 1 p k t )
W t r ó j k c i e r ó w n o r a m i e n n y m A B C ( r y s . ) o w y s o k o [c i a c h C D i A E
p o d s t a w a A B m a d Bu g o [ 8 c m , a o d c i n e k B E m a d Bu g o [ 3 c m . D Bu -
g o [ o d c i n k a A C j e s t r ó w n a :
3 2
A . 6 c m B . c m
E
3
2 8 3 3
C . c m D . c m
3 2
A B
D
Z a d a n i e 1 7 . ( 1 p k t )
W c z w o r o k c i e O B M A k t y w e w n t r z n e A O B i A M B m a j r ó w n e m i a r y ( r y s . ) .
A
M
O
a
B
W ó w c z a s k t a m a m i a r :
A . 1 6 0 ° B . 1 2 0 ° C . 2 4 0 ° D . 2 1 0 °
Z a d a n i e 1 8 . ( 1 p k t )
W t r ó j k c i e p r o s t o k t n y m d Bu g o [ j e d n e j z p r z y p r o s t o k t n y c h j e s t r ó w n a 7 , z a [ d Bu g o [ p r z e -
c i w p r o s t o k t n e j j e s t r ó w n a 8 . Z a t e m t a n g e n s m n i e j s z e g o k t a o s t r e g o w t y m t r ó j k c i e j e s t
r ó w n y :
1 5 8 1 5 7 1 5
A . B . C . D .
7 1 5 7 1 5
6
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
B R U D N O P I S ( n i e p o d l e g a o c e n i e )
7
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
B
Z a d a n i e 1 9 . ( 1 p k t )
D Bu g o [ o d c i n k a B D w t r ó j k c i e p r o s t o k t n y m A B C ( r y s . )
3 0 °
j e s t r ó w n a :
9 3
A .
4 D
B . 4
6 0 °
C . 4 3
D . 4 2
9 0 °
C A
4
Z a d a n i e 2 0 . ( 1 p k t )
1 6
P o l e k o Ba w p i s a n e g o w t r ó j k t r ó w n o b o c z n y j e s t r ó w n e p . O b w ó d t e g o t r ó j k t a j e s t r ó w n y :
3
A . 1 2 3 B . 2 4 C . 1 2 D . 3 6
Z a d a n i e 2 1 . ( 1 p k t )
D Bu g o [ o k r g u o p i s a n e g o r ó w n a n i e m x 2 - 4 x + y 2 - 4 = 0 j e s t r ó w n a :
A . 4 2 p B . 4 p C . 2 2 p D . 8 2 p
Z a d a n i e 2 2 . ( 1 p k t )
P u n k t y A = 4 i C = 2 s p r z e c i w l e g By m i w i e r z c h o Bk a m i k w a d r a t u A B C D . Z a t e m
( - 2 ,
) ( - 6 ,
)
p r o m i e D o k r g u o p i s a n e g o n a t y m k w a d r a c i e j e s t r ó w n y :
A . 1 0 B . 2 C . 5 D . 1 0
Z a d a n i e 2 3 . ( 1 p k t )
Z e z b i o r u l i c z b 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 1 2 , 1 4 , 1 5 w y b i e r a m y l o s o w o j e d n l i c z b . P r a w d o p o d o b i e D-
{ }
s t w o , |e w y b i e r z e m y l i c z b , k t ó r e j d z i e l n i k i e m j e s t l i c z b a 3 , w y n o s i :
1
5 4 2
A . B . C . D .
3
9 9 3
Z a d a n i e 2 4 . ( 1 p k t )
W o s t r o s Bu p i e p r a w i d Bo w y m c z w o r o k t n y m o b j t o [ j e s t r ó w n a 3 2 , z a [ k r a w d z p o d s t a w y j e s t
r ó w n a 4 . W y s o k o [ t e g o o s t r o s Bu p a j e s t r ó w n a :
2 4
A . B . C . 2 D . 6
3 3
8
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
B R U D N O P I S ( n i e p o d l e g a o c e n i e )
9
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
Z A D A N I A O T W A R T E
R o z w i z a n i a z a d a D o n u m e r a c h o d 2 5 . d o 3 3 . n a l e |y z a p i s a w w y z n a c z o n y c h m i e j s c a c h
p o d t r e [c i z a d a n i a .
Z a d a n i e 2 5 . ( 2 p k t )
R o z w i | n i e r ó w n o [: - 2 x 2 + 3 x < 4 .
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z a d a n i e 2 6 . ( 2 p k t )
D a n y j e s t w i e l o m i a n W x = - 2 x 3 + 3 x 2 - ( ) - 6 . W y z n a c z w a r t o [ k , w i e d z c , |e l i c z b a
k + 2 x
( )
- 2 j e s t p i e r w i a s t k i e m w i e l o m i a n u W x .
( )
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 0
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
Z a d a n i e 2 7 . ( 2 p k t )
W y k a |, |e t r a p e z , w k t ó r y m p r z e k t n e d z i e l k t y p r z y d Bu |s z e j p o d s t a w i e n a p o Bo w y , j e s t
r ó w n o r a m i e n n y .
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z a d a n i e 2 8 . ( 2 p k t )
M a s z t t e l e k o m u n i k a c y j n y r z u c a c i e D, k t ó r y j e s t 2 r a z y k r ó t s z y n i | w y s o k o [ m a s z t u . O b l i c z
c o s i n u s k t a , p o d j a k i m p a d a j p r o m i e n i e s Bo n e c z n e .
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
Z a d a n i e 2 9 . ( 2 p k t )
D w a o k r g i s s t y c z n e z e w n t r z n i e . O d l e g Bo [ i c h [r o d k ó w j e s t r ó w n a 8 c m . G d y b y t e o k r g i
b y By s t y c z n e w e w n t r z n i e , t o o d l e g Bo [ i c h [r o d k ó w b y Ba b y r ó w n a 2 c m . O b l i c z d Bu g o [c i p r o -
m i e n i t y c h o k r g ó w .
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z a d a n i e 3 0 . ( 2 p k t )
D a n y j e s t t r ó j k t A B C , g d z i e A = - 2 , B = 1 , - 1 , C = 4 . W y z n a c z r ó w n a n i e s y m e -
( - 3 ,
) ( ) ( - 1 ,
)
t r a l n e j b o k u A C t e g o t r ó j k t a .
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
Z a d a n i e 3 1 . ( 4 p k t )
U c z e D p r z y g o t o w u j c y s i d o m a t u r y w c i g u p i e r w s z e g o t y g o d n i a r o z w i z a B 5 z a d a D. P o s t a n o -
w i B j e d n a k , |e w k a |d y m n a s t p n y m t y g o d n i u b d z i e r o z w i z y w a B o 2 z a d a n i a w i c e j n i | w p o -
p r z e d n i m t y g o d n i u . W k t ó r y m t y g o d n i u l i c z b a z a d a D r o z w i z a n y c h p r z e z n i e g o o d p o c z t k u
n a u k i p r z e k r o c z y 4 8 0 ?
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 3
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
Z a d a n i e 3 2 . ( 5 p k t )
W g r a n i a s t o s Bu p i e p r a w i d Bo w y m c z w o r o k t n y m w y s o k o [ g r a n i a s t o s Bu p a j e s t o 4 k r ó t s z a o d
p r z e k t n e j p o d s t a w y i o 8 k r ó t s z a o d p r z e k t n e j g r a n i a s t o s Bu p a . O b l i c z s i n u s k t a p o m i d z y
p r z e k t n g r a n i a s t o s Bu p a a p Ba s z c z y z n p o d s t a w y .
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 4
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
Z a d a n i e 3 3 . ( 5 p k t )
O j c i e c i s y n z b i e r a j w s a d z i e j a b Bk a d o s k r z y n e k , k t ó r e w k Ba d a j d o s a m o c h o d u d o s t a w c z e g o .
P r a c u j c j e d n o c z e [n i e , m o g z a Ba d o w a c a By s a m o c h ó d w c i g u 6 g o d z i n . G d y b y o j c i e c p r a -
c o w a B s a m , t o z a Ba d o w a Bb y c a By s a m o c h ó d w c z a s i e o 5 g o d z i n k r ó t s z y m n i | c z a s , w k t ó r y m
s a m o d z i e l n i e z r o b i Bb y t o s y n . O b l i c z , w j a k i m c z a s i e o j c i e c z a Ba d o w a Bb y c a By s a m o c h ó d , g d y b y
p r a c o w a B s a m .
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 5
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
B R U D N O P I S ( n i e p o d l e g a o c e n i e )
1 6
K R Y T E R I A O C E N I A N I A O D P O W I E D Z I
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M
M a t e m a t y k a
P o z i o m p o d s t a w o w y
L i s t o p a d 2 0 1 3
W n i n i e j s z y m s c h e m a c i e o c e n i a n i a z a d a D o t w a r t y c h s p r e z e n t o w a n e p r z y k Ba d o w e p o p r a w n e o d p o w i e d z i .
W t e g o t y p u z a d a n i a c h n a l e |y r ó w n i e | u z n a o d p o w i e d z i u c z n i a , j e [l i s i n a c z e j s f o r m u Bo w a n e , a l e i c h s e n s
j e s t z g o d n y z p o d a n y m s c h e m a t e m , o r a z i n n e p o p r a w n e o d p o w i e d z i w n i m n i e p r z e w i d z i a n e .
Z a d a n i a z a m k n i t e
N r
1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 1 0 . 1 1 . 1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 5 . 1 6 . 1 7 . 1 8 . 1 9 . 2 0 . 2 1 . 2 2 . 2 3 . 2 4 .
z a d .
O d p . A C B C C B A A B C D C A B A B C C B B A C B D
Z a k a |d p o p r a w n o d p o w i e d z z d a j c y o t r z y m u j e 1 p u n k t .
Z a d a n i a o t w a r t e
N u m e r
M o d e l o w e e t a p y r o z w i z y w a n i a z a d a n i a L i c z b a p u n k t ó w
z a d a n i a
2 5 .
P o s t p : 1 p k t
o b l i c z e n i e D = - 2 3 i s t w i e r d z e n i e , |e D < 0 i a < 0
l u b o b l i c z e n i e D = - 2 3 i n a s z k i c o w a n i e w y k r e s u
R o z w i z a n i e b e z b Bd n e : 2 p k t
s f o r m u Bo w a n i e o d p o w i e d z i , |e r o z w i z a n i e m j e s t z b i ó r l i c z b r z e c z y w i -
s t y c h
2 6 .
P o s t p : 1 p k t
p o d s t a w i e n i e x = - 2 i o t r z y m a n i e r ó w n a n i a : 2 k + 2 + 2 2 = 0
( )
R o z w i z a n i e b e z b Bd n e : 2 p k t
p o d a n i e r o z w i z a n i a r ó w n a n i a : k = - 1 3
2 7 .
P o s t p : 1 p k t
s k o r z y s t a n i e z w Ba s n o [c i p r o s t y c h r ó w n o l e g By c h p r z e c i t y c h t r z e c i
s t r o n a 3 4 5
p r o s t o r a z z w a r u n k ó w z a d a n i a ( d w u s i e c z n e k t ó w o s t r y c h ) :
SðA C D = SðC A B = SðC A D
SðB D C = SðD B A = SðD B C
D C
A B
1
w w w . o p e r o n . p l
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
N u m e r
M o d e l o w e e t a p y r o z w i z y w a n i a z a d a n i a L i c z b a p u n k t ó w
z a d a n i a
R o z w i z a n i e b e z b Bd n e : 2 p k t
w y c i g n i c i e w n i o s k ó w , |e t r ó j k t y A D C i B C D s r ó w n o r a m i e n n e
i A D = D C = B C
2 8 .
P o s t p : 1 p k t
w y k o n a n i e p o p r a w n e g o r y s u n k u i o b l i c z e n i e d Bu g o [c i
s t r o n a 1 6 1
p r z e c i w p r o s t o k t n e j
h 5
d =
:
h 5
2
2
h
a
9 0 °
1
h
2
R o z w i z a n i e b e z b Bd n e : 2 p k t
5
o b l i c z e n i e : c o s a =
5
2 9 .
P o s t p : 1 p k t
ñør 1 + r 2 = 8
ôø
z a p i s a n i e w a r u n k ó w n a s t y c z n o [ o k r g ó w : ôø
òø
ôør 1 - r 2 = 2
ôø
óø
R o z w i z a n i e b e z b Bd n e : 2 p k t
r o z w i z a n i e u k Ba d u r ó w n a D: r 1 = 5 c m , r 2 = 3 c m
3 0 .
P o s t p : 1 p k t
w y z n a c z e n i e w s p ó Br z d n y c h [r o d k a b o k u A C , S = i w s p ó Bc z y n n i k a
( - 2 , 1
)
k i e r u n k o w e g o p r o s t e j A C , a = 3
R o z w i z a n i e b e z b Bd n e : 2 p k t
1 1
w y z n a c z e n i e r ó w n a n i a s y m e t r a l n e j b o k u A C : y = - x +
3 3
3 1 .
P o s t p : 1 p k t
u t w o r z e n i e m o d e l u m a t e m a t y c z n e g o : k o l e j n e i l o [c i z a d a D t w o r z c i g
a r y t m e t y c z n y , g d z i e a 1 = 5 , r = 2
I s t o t n y p o s t p : 2 p k t
z a s t o s o w a n i e w z o r u n a s u m c i g u a r y t m e t y c z n e g o
5 + 5 + n - 1 Å"2 n
a 1 + a n n ( )
( ) ( )
S n = =
2 2
P o k o n a n i e z a s a d n i c z y c h t r u d n o [c i : 3 p k t
z a p i s a n i e n i e r ó w n o [c i n 2 + 4 n > 4 8 0 i j e j r o z w i z a n i e
R o z w i z a n i e b e z b Bd n e : 4 p k t
u w z g l d n i e n i e , |e n j e s t l i c z b n a t u r a l n i z a p i s a n i e p o p r a w n e j o d p o w i e d z i :
L i c z b a r o z w i z a n y c h p r z e z u c z n i a z a d a D p r z e k r o c z y 4 8 0 w 2 1 . t y g o d n i u .
2
w w w . o p e r o n . p l
M a t e m a t y k a . P o z i o m p o d s t a w o w y
P r ó b n a M a t u r a z O P E R O N E M i G a z e t W y b o r c z
N u m e r
M o d e l o w e e t a p y r o z w i z y w a n i a z a d a n i a L i c z b a p u n k t ó w
z a d a n i a
3 2 . P o s t p : 1 p k t
o z n a c z e n i e d Bu g o [c i p r z e k t n e j p o d s t a w y : H + 4 , d Bu g o [c i p r z e k t n e j
s t r o n a 2 4 1
g r a n i a s t o s Bu p a : H + 8 , g d z i e H t o d Bu g o [ w y s o k o [c i g r a n i a s t o s Bu p a
H
I s t o t n y p o s t p : 2 p k t
z a u w a |e n i e , |e t r ó j k t u t w o r z o n y p r z e z k r a w d z b o c z n , p r z e k t n
p o d s t a w y i p r z e k t n g r a n i a s t o s Bu p a j e s t t r ó j k t e m p r o s t o k t n y m
2 2
i z a p i s a n i e r ó w n a n i a : H + 4 + H 2 = H + 8
( ) ( )
P o k o n a n i e z a s a d n i c z y c h t r u d n o [c i : 3 p k t
p r z e k s z t a Bc e n i e r ó w n a n i a d o p o s t a c i : H 2 - 8 H - 4 8 = 0
R o z w i z a n i e p r a w i e c a Bk o w i t e : 4 p k t
r o z w i z a n i e r ó w n a n i a : H = 1 2 ( d r u g i p i e r w i a s t e k o d r z u c a m y )
R o z w i z a n i e b e z b Bd n e : 5 p k t
o b l i c z e n i e w a r t o [c i s i n u s a k t a p o m i d z y p r z e k t n g r a n i a s t o s Bu p a
3
a p Ba s z c z y z n p o d s t a w y :
5
3 3 .
P o s t p : 1 p k t
u t w o r z e n i e m o d e l u m a t e m a t y c z n e g o i w p r o w a d z e n i e o z n a c z e D:
V p o j e m n o [ s a m o c h o d u
x c z a s , p o k t ó r y m o j c i e c s a m z a Ba d u j e s a m o c h ó d
x + 5 c z a s , p o k t ó r y m s y n s a m z a Ba d u j e s a m o c h ó d
I s t o t n y p o s t p : 2 p k t
V V V
u Bo |e n i e r ó w n a n i a : + =
x x + 5 6
P o k o n a n i e z a s a d n i c z y c h t r u d n o [c i : 3 p k t
p r z e k s z t a Bc e n i e r ó w n a n i a d o p o s t a c i : x 2 - 7 x - 3 0 = 0
R o z w i z a n i e p r a w i e c a Bk o w i t e : 5 p k t ( 4 p k t , j e [l i
r o z w i z a n i e r ó w n a n i a k w a d r a t o w e g o : x = 1 0 l u b x = - 3 p o j a w i s i b Bd y
r a c h u n k o w e b d z
u w z g l d n i e n i e w a r u n k u x > 0 i w y b r a n i e w Ba [c i w e j o d p o w i e d z i x = 1 0
n i e u w z g l d n i o n o
w a r u n k u z a d a n i a )
3
w w w . o p e r o n . p l
+ 8
H
+ 4
H
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