ÿþP r ó b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I I
M O D E L O D P O W I E D Z I I S C H E M A T P U N K T O W A N I A
A R K U S Z I I
N u m e r E t a p y r o z w i z a n i a z a d a n i a L i c z b a
z a d a n i a p u n k t ó w
W y z n a c z e n i e w a r t o [c i p a r a m e t r u m , w i e d z c |e l i c z b a - 1 j e s t
2
p i e r w i a s t k i e m r ó w n a n i a ( 1 p u n k t p r z y z n a j e m y z a m e t o d , 1 p u n k t z a
o b l i c z e n i a ) : m = - 2
W y k o r z y s t a n i e t w i e r d z e n i a B e z o u t a i w y k o n a n i e d z i e l e n i a p r z e z
1 1
d w u m i a n ( x + 1 ) ( 1 p u n k t p r z y z n a j e m y z a m e t o d , 1 p u n k t z a o b l i c z e n i a ) ,
2
w y n i k d z i e l e n i a : 2 x 2 + 5 x + 2 = 0
1
O b l i c z e n i e p o z o s t a By c h p i e r w i a s t k ó w t e g o r ó w n a n i a : x 1 = - , x 2 = - 2
1
2
4
1
W y z n a c z e n i e s i n u s a k t a p r z y w i e r z c h o Bk u C : s i n ³ =
5
3
W y z n a c z e n i e c o s i n u s a k t a p r z y w i e r z c h o Bk u C : c o s ³ = -
1
5
1 2
O b l i c z e n i e d Bu g o [c i b o k u A B : A B = 2 4 1 c m
( 1 p k t . z a z a s t o s o w a n i e t w i e r d z e n i a c o s i n u s ó w , o d p o w i e d z p u n k t u j e m y
2
t a k |e g d y p o d a n a j e s t w f o r m i e A B = 2 4 1 l u b A B H" 1 5 , 5 )
P o d a n i e z b i o r u r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i x - 5 À d" 5 À : x " 0 , 1 0 À
1
( z d a j c y m o |e r o z w i z a n i e r ó w n o [ l u b w y k o r z y s t a i n t e r p r e t a c j
g e o m e t r y c z n w a r t o [c i b e z w z g l d n e j )
2 5
P o d a n i e w a r t o [c i l i c z b o w e j w y r a |e n i a c t g À: 0
1
2
À
R o z w i z a n i e r ó w n a n i a s i n 3 x = 0 : x = k Å" '" k " C
1
3
( p u n k t p r z y z n a j e m y t a k |e , g d y z d a j c y n i e p o d a , |e k " C )
Z a u w a |e n i e , |e k o l e j n e r o z w i z a n i a r ó w n a n i a t r y g o n o m e t r y c z n e g o , s
1 3
w y r a z a m i c i g u a r y t m e t y c z n e g o , w k t ó r y m
1
À
a 1 = 0 '" r =
3
U s t a l e n i e l i c z b y r o z w i z a D n a l e |c y c h d o z b i o r u 0 ; 1 0 À : n = 3 1
1
O b l i c z e n i e s u m y r o z w i z a D r ó w n a n i a n a l e |c y c h d o z b i o r u 0 , 1 0 À :
S 3 1 = 1 5 5 À ( l u b s u m y 3 0 p o c z t k o w y c h w y r a z ó w c i g u , g d y z d a j c y
1
À
p r z y j m i e , |e a 1 = ) .
3
1
P r ó b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I I
Z a p i s a n i e w y r a |e n i a : a n + 1 = 3 ( n + 1 ) 2 - 3 ( n + 1 ) + 2
1
W y k o r z y s t a n i e d e f i n i c j i m o n o t o n i c z n o [c i c i g u :
1
2
a n + 1 - a n = 3 ( n + 1 ) - 3 ( n + 1 ) + 2 - ( 3 n 2 - 3 n + 2 )
P r z e k s z t a Bc e n i e r ó |n i c y a n + 1 - a n d o n a j p r o s t s z e j p o s t a c i ; a n + 1 - a n = 6 n
1
U z a s a d n i e n i e , |e c i g ( a n ) j e s t r o s n c y .
1
3 3
8 n 6 + n 8 n 6 + n
Z a p i s a n i e g r a n i c y : l i m w p o s t a c i l i m 1
n ’! " n ’! "
1 - a n - 3 n 2 + 3 n - 1
1 4
Z a s t o s o w a n i e w Ba [c i w e g o a l g o r y t m u o b l i c z a n i a g r a n i c y c i g u :
1
3
8 +
3
8 n 6 + n 1
n 5
n p . z a p i s a n i e u Ba m k a w p o s t a c i
1 3
1 - a n
- + - 3
n 2 n
3
8 n 6 + n 2
O b l i c z e n i e g r a n i c y : l i m = - 1
n ’! "
1 - a n 3
W y z n a c z e n i e w a r t o [c i p a r a m e t r u c ; c = 8 , z a p i s a n i e w z o r u f u n k c j i
1
f ( x ) = x 3 - 6 x 2 + 8
W y z n a c z e n i e p o c h o d n e j f u n k c j i f : f ' ( x ) = 3 x 2 - 1 2 x 1
O b l i c z e n i e m i e j s c z e r o w y c h p o c h o d n e j : x 1 = 0 , x 2 = 4 i s t w i e r d z e n i e ,
1
|e a r g u m e n t x 2 = 4 "< - 1 ; 3 >
O b l i c z e n i e w a r t o [c i f ( - 1 ) = 1 , f ( 3 ) = - 1 9
1
P o d a n i e w a r t o [c i n a j w i k s z e j : f ( 0 ) = 8 i n a j m n i e j s z e j : f ( 3 ) = - 1 9
1
2
f ( x ) > 0 Ô! x "( - ", 0 ) *" ( 4 , ")
1 5
B a d a n i e z n a k u p o c h o d n e j :
2
f ( x ) < 0 Ô! x "( 0 , 4 )
1
( w y s t a r c z y g d y z d a j c y p o d a z b i ó r , w k t ó r y m p o c h o d n a j e s t d o d a t n i a
a l b o u j e m n a ) .
P o d a n i e p r z e d z i a Bó w m o n o t o n i c z n o [c i f u n k c j i :
f u n k c j a r o [n i e w p r z e d z i a l e ( - ", 0 ) o r a z w p r z e d z i a l e ( 4 , ") ,
1
f u n k c j a m a l e j e w p r z e d z i a l e ( 0 , 4 ) .
( n i e p r z y z n a j e m y p u n k t u w p r z y p a d k u s t w i e r d z e n i a , |e f u n k c j a r o [n i e
w s u m i e p r z e d z i a Bó w ) .
A n a l i z a t r e [c i z a d a n i a i s t w i e r d z e n i e k o n i e c z n o [c i w y z n a c z e n i a
w a r t o [c i f u n k c j i d l a a r g u m e n t u x = 2 , 4 ( l u b w y z n a c z e n i a a r g u m e n t u , 1
d l a k t ó r e g o f u n k c j a p r z y j m u j e w a r t o [ 4 ) .
O b l i c z e n i e w a r t o [c i f ( 2 , 4 ) = 3 , 8 4
1 6
ëø öø ëø öø
4 3 - 4 3
1
ìø ÷ø ìø ÷ø
( l u b s t w i e r d z e n i e , |e 4 = f = f )
ìø ÷ø ìø ÷ø
3 3
íø øø íø øø
P o r ó w n a n i e o d p o w i e d n i c h w a r t o [c i l i c z b o w y c h i p o d a n i e w n i o s k u , |e
1
c i |a r ó w k a n i e z m i e [c i s i w t u n e l u .
2
P r ó b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
A r k u s z I I
W y z n a c z e n i e w s p ó Br z d n y c h [r o d k a i d Bu g o [c i p r o m i e n i a o k r g u o 1 :
1
S = ( 2 , - 3 ) , r = 2 .
O b l i c z e n i e d Bu g o [c i p r o m i e n i a o k r g u o 2 ( n p . j a k o | A S | ) : R = 5 1
1 7
2 2
Z a p i s a n i e r ó w n a n i a o k r g u o 2 : ( x - 2 ) + ( y + 3 ) = 2 5 1
O b l i c z e n i e p o l a p i e r [c i e n i a ( 1 p u n k t p r z y z n a j e m y z a m e t o d , a j e d e n z a
2
o b l i c z e n i a ) : P = 2 1 À
A n a l i z a z a d a n i a l u b s p o r z d z e n i e r y s u n k u z o z n a c z e n i a m i 1
U z a s a d n i e n i e p o d o b i e Ds t w a o d p o w i e d n i c h t r ó j k t ó w 1
Z a s t o s o w a n i e p r o p o r c j i w y n i k a j c e j z p o d o b i e Ds t w a t r ó j k t ó w : n p .
1 3 7
1
=
x + 6 x
1 8
O b l i c z e n i e d Bu g o [c i w y s o k o [c i o d p o w i e d n i e g o t r ó j k t a : x = 7 . 1
O b l i c z e n i e o b j t o [c i s t o |k a [c i t e g o : V = 6 1 8 À c m 3
2
( 1 p u n k t p r z y z n a j e m y z a m e t o d i 1 p u n k t z a o b l i c z e n i a )
P o d a n i e o d p o w i e d z i z u w z g l d n i e n i e m z a d a n e j d o k Ba d n o [c i : V H" 1 9 4 1 c m 3 1
O k r e [l e n i e l i c z b y k s u k c e s ó w w s c h e m a c i e 2 0 p r ó b B e r n o u l l i e g o o r a z
p o d a n i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w s u k c e s u i p o r a |k i w j e d n e j p r ó b i e :
1
k = 0 l u b k = 1 , p = 0 , 1 q = 0 , 9
Z a s t o s o w a n i e w z o r u n a p r a w d o p o d o b i e Ds t w o u z y s k a n i a k s u k c e s ó w
w s c h e m a c i e n p r ó b B e r n o u l l i e g o i o b l i c z e n i e w Ba [c i w e g o
2
p r a w d o p o d o b i e Ds t w a ( 1 p u n k t p r z y z n a j e m y z a m e t o d i 1 p u n k t z a
1 9
o b l i c z e n i a ) : P ( B ) = ( 0 , 1 9 ) Å" 2 , 9 H" 0 , 4 0 6
1 9
1 0
ëø öø
W y z n a c z e n i e l i c z b y w s z y s t k i c h z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h : &! = ìø ÷ø
1
ìø4 ÷ø
íø øø
O b l i c z e n i e l i c z b y z d a r z e D s p r z y j a j c y c h w y b o r o w i d w ó c h Ba Dc u c h ó w
4 6
ëø öøëø öø
1
k r ó t k i c h i d w ó c h Ba Dc u c h ó w d Bu g i c h : A = ìø
ìø2 ÷øìø2 ÷ø
÷øìø ÷ø
íø øøíø øø
3
O b l i c z e n i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a : P ( A ) =
1
7
3
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