5020058450

MNW

Jerzy Marzec, Katedra Ekonometrii i Badan Operacyjnych, p. 307 paw. A, UEK w Krakowie Przedmiot: Bkonometria II - przykładowe zadania.

Przykład 1)

Zmienna losowa y_t ma rozkład wykładniczy, jeżeli funkcja gęstości ma postać

8

dla y_t > 0

pU|8)=^exp

p(y_t|e) = 0    dla y,<0

gdzie 0>O, a zatem E[yJ = 0.

a)    Skonstruować funkcję wiarygodności dla T-elementowej próby prostej.

b)    Wyznaczyć analitycznie - o ile jest spełniony warunek z pkt. d - estymator największej wiarygodności (NW) dla parametru 0.

c)    Obliczyć dla logarytmu wiarygodności drugą pochodną względem 0.

d)    Sprawdzić czy spełniony jest warunek wystarczający na istnienie estymatora NW.

e)    Określić asymptotyczny błąd szacunku (błąd standardowy) estymatora NW dla parametru 0.

Przykład 2)

Rozważa się zależność między dochodami uzyskiwanymi z pracy (y_f) a okresem kształcenia się (x_f). Przyj ęto, że y_t jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym, o wartości oczekiwanej J3 + x_t. Wówczas rozkład zmiennej y_t opisuje funkcja gęstości o postaci¹

$+x_t l $+x_t

p(y»|P.**)=-57—«p

gdzie |3 + x, > 0, y,> 0 i x, > 0.

a)    Skonstruować funkcję wiarygodności dla T-elementowej próby prostej.

b)    Zapisać równanie, z którego uzyskujemy (o ile istnieje) estymator NW.

c)    Wyznaczyć dla logarytmu wiarygodności drugą pochodną względem (5.

d)    Podać asymptotyczny średni błąd szacunku dla parametru {3.

Przykład 3)

Rozważamy prosty model regresji o postaci: y_t =£_t, gdzie e_f - iW(ji, co), p. jest wartością

oczekiwaną, a co>0 zaś wariancją rozkładu dla składnika losowego 6/. Wówczas funkcja gęstości dla e, ma postać

j?(e,|p, ca)=(27t- to) 2 exp

' i u-nn

co

a)

b)

c)

d)

e)

Skonstruować funkcję wiarygodności dla próby losowej yu-.yr przy założeniu jx = 0. Wyznaczyć - o ile jest spełniony warunek z pkt. c - estymator NW dla parametru co. Sprawdzić czy spełniony jest warunek wystarczający na istnienie estymatora NW. Podać asymptotyczny błąd szacunku estymatora NW dla parametru co.

Obliczyć ocenę i przybliżony średni błąd szacunku dla T = co^-1.

Przykład 4)

Rozważamy prosty model regresji nieliniowej o postaci: y_t=—^-—+E_f , gdzie e, ~iW(0;l).

x_t+P

a)    Skonstruować funkcję wiarygodności dla T-elementowej próby losowej.

b)    Zapisać równanie, z którego uzyskujemy (o ile istnieje) estymator NW.

c)    Podać asymptotyczny średni błąd szacunku dla parametru J3.

1

Źródło: Greene W,H. [2003], Econometric Anafysis (5^a editon), MacmUlan Publishing Company, New York.

1/2