6830719355

1

Tadeusz Świrszcz, Matematyka. - wykład, rok ak.2011/2012

1. Definicja całki nieoznaczonej i podstawowe metody całkowania

1.1.    Definicja. Niech / będzie funkcją określoną w przedziale A. Mówimy, że F : A —► R jest funkcją pierwotną funkcji F w A, jeśli F'(x) = f(x) dla x € A. Rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji / nazywamy całką nieoznaczoną funkcji / i oznaczamy symbolem

J f(x)dx.

1.2.    Twierdzenie. Jeśli F'(x) = f(x) i G'(x) — f(x) w przedziale A, to istnieje stała C £ R taka, że G(x) = F(x) + C dla x £ A.

1.3.    Jeśli więc F jest jakąkolwiek ustaloną funkcją pierwotną funkcji /, to

J f(x) dx = {F(x) + C : C £ M).

Zapisujemy to zazwyczaj w postaci

/ f(x) dx = F(x) 4- C.

1.4.    Bezpośrednio ze wzorów na pochodne otrzymujemy następujące całki:

f x^adx = —-a/®⁺¹ + C dla a / —1, f — dx = ]n\x\ + C,

J    a+1    J x

J e^xdx = e^x + C, J sina: — - cos a; + C, j cosx — sin a; -h C,

/dx    r dx

= arcsin x + C, I --s- = arctg® 4- C.

vl - s²    j 1 + »

1.5. Twierdzenie. Jeśli istnieje f f(x)dx, to dla dowolnego asB

jaHx)ix = ajf(x)ix.

Jeśli istnieją f f(x)dx i f g(x) dx,

j{f{x) + ff(%)) dx = J f(x)dx + j g{x)dx.

1.0. TWIERDZENIE (Całkowanie przez części).

J f'{x)g(x) dx - f{x)g(x) - J }{x)cf (x) dx.

1.7. TWIERDZENIE (Całkowanie przez podstawienie).

J f(g(x)W (*) dx = / /(«) dz,

gdzie z = g{x). Jeśli <p(t) jest funkcją odwracalną, to

J f{x) dx = j }{<p{t))vJ(t) dt,