7044307371

www.kangur-mat.pl

22. Rozważmy dwa ciągi arytmetyczne: 5, 20, 35, ... oraz 35, 61,87, .... Ile różnych ciągów arytmetycznych o dodatnich wyrazach całkowitych zawiera wszystkie wyrazy obu tych ciągów?

A) 1    B) 3    C) 5    D) 26    E) Nieskończenie wiele.

23. Funkcje /^(z), fs(x), ... spełniają następujące warunki: fi(x) = x, f_n+i{x) — dla n = 1,2,3,... De jest równe /2on(201ł) ?

1 _c) 2010

A) 2011

B) -

2010

2011

D) 1

1

1 ~ f_n(x) E) -2011

24. W umie są kule, każda albo zielona, albo czerwona. Prawdopodobieństwo wylosowania z tej urny dwóch kul o tym samym kolorze jest równe |. Która z następującycłi liczb może być liczbą wszystkich kul w tej urnie?

A) 81    B) 101    C) 1000    D) 2011    E) 10001

25. Kompania Kangaroo Airlines pobiera od pasażerów dodatkową opłatę za bagaż, którego waga przekracza ustalony limit. Za każdy kilogram bagażu ponad ten limit płaci się tę samą lewo tę. Bagaż pana Cejrowskiego i pani Cejrowskiej ważył łącznie 60 leg i dopłacili oni w sumie 3 €. Bagaż pana Makłowicza ważył również 60 kg, ale dopłacił on 10,50 €. Ile co najwyżej kilogramów bagażu może przewieźć pasażer bez dodatkowej opłaty?

A) 10    B) 18    C) 20    D) 25    E) 39

—I---}- - są liczbami

x y z

26. Rozważamy liczby wymierne x, y. z takie, że a — x + y + z oraz b całkowitymi. Najmniejsza możliwa wartość a² + b² jest wówczas równa

A) 0.

B) 1.    C) 2.

D) 8.    E) 9.

27.    Ile istnieje nieprzystających trójkątów równoramiennych o podstawie długości 10, w których sinus jednego z kątów jest równy cosinusowi innego kąta tego trójkąta?

A) 0    B) 1    C) 2    D) 3    E) 4

28.    Rozważamy    dodatnie liczby    całkowite a, b, c takie,    że a²    — 2ó³ = 3c⁵.    Najmniejsza możliwa

liczba wszystkich dodatnich dzielników iloczynu abc (łącznie z 1 i abc) jest równa

A) 30.    B) 60.    C) 72.    D) 77.    E) 1596.

29.    W pola tablicy o wymiarach 4x5 wpisywano 20 różnych dodatnich liczb całkowitych tak, aby każde dwie sąsiednie liczby (czyli liczby umieszczone w polach o wspólnej krawędzi) miały wspólny dzielnik większy niż 1. Niech n oznacza największą z liczb występujących w tablicy. Najmniejsza możliwa wartość n jest równa

A) 21.    B) 24.    C) 26.    D) 27.    E) 40.

30. Sześcian o wymiarach 3x3x3 jest zbudowany z 27 identycznych sześcianików o wymiarach 1 x i x 1. Ile takich sześcianików przecina płaszczyzna prostopadła do przekątnej sześcianu i przechodząca przez jego środek?

A) 15    B) 17    C) 19    D) 21    E) 23

(C) Kangourou Sans Frontiferes www.mata-ksf.org/

(5) Towarzystwo Upowszechniania Wiedzy i Nauk Matematycznych www.kangur-mat.pl

Kangourou Sans Frontieres

Wydział Matematyki i Inform,atyki    Towarzystwo Upowszechniania Y/iedzy

Uniwersytetu Mikołaja Kopernika    i Nauk Matematycznych

w Toruniu

Międzynarodowy Konkurs Matematyczny

KANGUR 2011

Student

Klasy II i III liceów oraz II, III i IV techników Czas trwania konkursu: 75 minut Podczas konkursu nie wolno używać kallculatorów!

Pytania po 3 punkty

1. Jeżeli od dodatniej liczby całkowitej odejmiemy sumę jej cyfr, to otrzymana różnica będzie na pewno podzielna przez

A) 7.    B) 11.    C) 2.    D) 5.    E) 9.

2. Rok temu Łukasz był o 10 lat starszy od swojej siostry. Za cztery lata będzie miał dwa razy tyle lat ile ona. Ile lat ma teraz Łukasz?

A) 15    B) 16    C) 17    D) 18    E) 22

3.    Jeżeli 2^X — 15, 15^H = 32, to xy jest równe

A) 5.    B) log₂15 + log₁₅ 32.    C) log₂47.    D) 7.    E) ^7.

4.    Piotr sporządził mapę swojej miejscowości. Narysował wszystkie cztery ulice i wszystkie siedem skrzyżowań tych ulic oraz cztery domy swoich przyjaciół (rysunek obok). W rzeczywistości ulice: Prosta, Skośna i Długa biegną wzdłuż linii prostych. Czwarta z narysowanych ulic nazywa się Kręta.

Który z czterech przyjaciół Piotra mieszka przy ulicy Krętej?

A) Arek B) Bartek C) Czarek D) Darek E) Z rysunku nie można tego wywnioskować.

5.    Wszystkie liczby czterocyfrowe o sumie cyfr równej 4 ustawiono w ciąg malejący. Na którym miejscu w tym ciągu występuje liczba 2011?

A) 6	B)	7 C) 8	D) 9	E)	10
6. Jeżeli tg z +	1 tg cc ~ ^?r>	to sin x cos x jest równe
A) 1.	B)	i. C) I. 2 ^; 2	^D) I'	E)	1 7r

| www. kangur--ma.t. pl