7488177662

8. WSKAZÓWKI POMOCNE W ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ

Zadanie 236.

Najpierw zauważmy, że dla a eC,f € R mamy równość [/] + a =[/ +a\ Zatem /(*>j)=(('^v-M) ⁺ (j^,-lj'))l Ale wiemy, że 0 </-(/]<!. Stąd 0</(*,j)<2

A ponieważ /((0,0))

= 1, więc wnosimy, że zbiorem wartości funkcji

jest zbiór {0,1}.

Zadanie 237.

Często w takich przypadkach wykorzystujemy funkcję trygonometryczną tangens,

która np. na przedziale

jest ściśle (silnie) rosnąca i przyjmuje wartości

,. = |sin(a -P)|.

(-«>; +oo). Zatem kładziemy <7 = tgtx, £ = tgP, r = tgy dla a,p,ye

sina _ sinp cos a cosp

ltg<* - tgpl Vl + tg^Ja -Vl + 'g²P

, I dalej L =---p—

Vcos² a yjcos² p

Analogicznie mamy f(b,c) = |sin (P - y)|.

Dalej /(*>') = |^sin(^a -Y)| = M(a -P) + (P"Y))| =

= ... <|sin(a -p)-cos(p-y)|+ |cos(a — p) * sin(p — y)|

Po kolejnych oszacowaniach otrzymujemy tezę.

Niezwykle ważnymi umiejętnościami są tutaj: trafne przekształcanie wzorów trygonometrycznych i oszacowywanie ich wartości w oparciu na stosownych twierdzeniach.

Zadanie 238.

Przekształcając obie strony nierówności, otrzymujemy:

_L _ /(«)+/(*) + *+* _ip_ f(^a)+Ab)+a+b

(/W + ')</<*> ⁺ *)    (/W ⁺ *)UW + *)

Wystarczy pokazać, że L - P > 0 <=> (f(a) - f(b))(a -b)> 0 (1). Przyjmując bez utraty ogólności a> b_t mamy f(a) > f(b). A to dowodzi nierówności (1).

Zadanie 239.

Wykorzystujemy założenia i swoje umiejętności w przekształcaniu wyrażeń algebraicznych. Zatem mamy 2a_x(m — //) + r(///² —m — n² + //)=0, a przy założeniu m — n*0 rozpatrujemy równanie 2a, + r(/// + // - 1) = 0. A stąd teza.

Zadanie 240.

Oznaczając wyrażenie przez w_y zapisujemy

w = (sin² *■ +cos² X^-)² -3 sin² xcos² sin² +cos² a:)² -2///sin² xcos² x.

4

4

A stąd mamy//' = 1 + * - ^ ⁺    • sin² 2x. Musi więc zachodzić ^ ⁺    = 0, czyli m — —1,5.