7803159056

mis POLOKA

Matematyka krok po kroku

Zadanie z.

Pokaż, że jeżeli dwa odcinki AC i BD przecinają się w punkcie P, który nic jest końcem żadnego z tych odcinków oraz \PA \ ■ \PC\ = \PB\ ■ \ Pl)\, to na czworokącie ABCD da się opisać okrąg.

Rozwiązanie

Ponieważ punkty A, B, C nie są współliniowe, to na trójkącie ABC da się opisać okrąg.

Prosta BD przecina ten okrąg w punkcie £>' różnym od punktu B. Z twierdzenia o siecznych \PA \ ■ \PC\ = |PP| • |P£)'|. Stąd i z założenia wynika, że \PD\ = |PD'i.

Ponieważ punkty D i D‘ leżą na półprostej PD~*, to D = D'.

Zadanie 3.

Udowodnij, że na trapezie równoramiennym można opisać okrąg.

Rozwiązanie

Niech M będzie punktem przecięcia się przekątnych trapezu równoramiennego ABCD. Z przystawania trójkątów ABC i ABD wynika, że |<CAB| = \<DBA\. W związku z tym trójkąt AMB jest równoramienny i \AM\ = \BM\. Analogicznie z przystawania trójkątów CDB i DC A mamy \CM\ = \DM\.

Stąd \AM\ - \MD\ = \BM\ ■ \MC\.

Z poprzedniego zadania wynika, że na trapezie ABCD można opisać okrąg.

Zadanie 4>

Dany jest czworokąt wypukły KLMN. Przedłużenia boków KN, o długości 13 cm i boku LM

0    długości 15 cm tego czworokąta przecinają się w punkcie P tak, że | PK\ = 15, | PM\ = 21. Ponadto załóżmy, że punkt K należy do odcinka PN, a punkt Z —do odcinka PM. Czy na czworokącie KLMN można opisać okrąg?

Rozwiązanie

Załóżmy, że na czworokącie KI,MN można opisać okrąg.

Wówczas z twierdzenia o siecznych \PL\ • \PM\ = \PK\ ■ |/W|.

Ale \PK\ = 15, \PN\ = 15 + 13 = 28, \PM\ =21, \PL\ =21    15 = 6.

Czyli \PL\ ■ \PM\ =6-21 ^ |PAj • |P/V| = 15 • 28, co jest sprzeczne z równością wynikającą z twierdzenia o siecznych.

Oznacza to, że na czworokącie KLMN nie można opisać okręgu.

\

Zadanie 5. ]

"uwic cięciwy przecinają się w punkcie P leżącym wewnątrz koła tak, aby wyznaczone odcinki jednej z cięciw miały długość 24 cm

1    6 cm, a odcinki drugiej cięciwy dzieliły się w stosunku 4:1.

Oblicz długości tych odcinków.

Rozwiązanie

Niech \PD\ =24, \PC\ =6, jgj =

Oznaczmy \PB\ -x, wówczas \AP\ = 4x.

Z twierdzenia o siecznych mamy |PC| • | PD \ = \PA\ ■ \PB\.

Stąd 24 • 6 = x ■ 4x, czyli X² = 36. W konsekwencji x = 6.

Wydawnictwo Rdukacyjne RES POI .ONA Sp. z o.o., 90-745 ł.ódź, ul. Pogonowskiego 5/7, tel. [phone], fax [phone]

www.res-polona.com.pl, e-mail: [e-mail]

4