Biotechnologia. Chemia. Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 14

gdzie C\, C2 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste;

•    jeżeli r jest rzeczywistym podwójnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje

yi(x) = e^rx ,    y₂(x) = xe^rx ,

a rozwiązanie ogólne ma postać

y(x) = C\e^rx + C₂xe^rx ,

gdzie Ci, C₂ oznaczają dowolne stałe rzeczywiste;

•    jeżeli ri — a + i(3, r₂ — a — i(3, gdzie 0 > 0 są zespolonymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego, to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje

2/i (x) = e^QX cos 0x ,    y₂(x) = e^ax sin 0x ,

a rozwiązanie ogólne ma postać

y(x) = C\e^ax cos 0x + C₂e^ax sin (3x ,

inaczej

y(x) = (Ci cos 0x + C₂ sin (3x)e^ax , gdzie Ci, C₂ oznaczają dowolne stałe rzeczywiste.

Równanie niejednorodne Rozważmy równanie różniczkowe drugiego rzędu w postaci

y" + Pi y¹ + P2 y = q(x).

Schemat poszukiwania rozwiązania

•    Szukamy rozwiązania ogólnego y_Q(x) rówania jednorodnego

•    Szukamy rozwiązania szczególnego y_s(x) równania niejednorodnego (metodą uzmiennia-nia stałych lub, o ile pozwala na to postać równania, matodą przewidywań)

•    Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest

y(x) = y_a(x) + y_s(x)