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188 Tr*v»ux df Thdorie Jm Nombrr*

IjA suitę infinie (1) a done iei k nombres impairs suivis d’uoe infinitó de nombres 6.

II est a remarquer que L. E. Diekson a ćnoncć rhypothóse que j*»ur tout nonibre naturel n > I la suitę (1) ou bieu se termine par le nombre 1 ou bien elle est póriodique (Diekson [5]; cf. Catalan [3]).

On voit sans peine que I*on pcut cxprimer cette hypothóse en disant que la suitę (1) et toujours bornie.

On ne sait pas s*il existe une infinitl dc nombres natunds n pour lesquels la suitę (1) est plriodique et la plriode est pure (comme par cxemple |K)ur n «■= 220, oh la plriode est formie de deux termes ou pour n = 12496, oh la plriode est formóe de 5 ternie*).

En 1950 G. Giuga a Inoncó rhypothhso que pour qu’un nombre na-turel p > 1 soit premier, il faut et ilsuffit quc le nombre l*^-,-f-2^,’~^, +...-f i- (p—l)^,-ł+1 soit divisible par p. (On dćmontrc sans peine que cette eon-dition est nlcessaire). II affirme que eette hypothlsc est vraie pour tous les nombres < 10¹***.

Hypotbese de A. Schin/cl. A. Hchinzel a ónoncó rhypothese H, suirante:

II,. s Mant Mn nombrt naturel et /,(x),/,(x), ...,/,(x) des polynómrs irrłductibles en x A eoeffieient* en lim, om le coeffident de la plus haute puissanre de x est positif, et satisfaisant a la eondition

S. II n'existe aucun entier > 1 qui ditise le produit /,(x)/,(x).../_ł(x) ąuel ąue soit 1’entier x,

alors il exinle au moins un nombre naturel x pour leąuel les nombres /i(x),/,(x), ...,/,(x) sont tous premiers.

Ou dlmontre sans peine que 1’hypothóse IT₀ lquivaut a 1’hypothóse H suivante:

H. 8 Mant un nombre naturel et /_ł(x),/_ł(x), ...,/,(x) des polynómes en x satitfaisant aux conditions dr 1'hypothise II,, il eriste une infiniti de nombres naturels x pour lesęuels les nombres /,(x),/_t(x), ...,/,(x) sont premiers.

En effet, supposons que 1’hypotliese II, soit vraie et soicnt /i(x),/,(x), ...,/,(x) des polynómes satisfaisant aux conditions de 1’hypo-th6se II,. On dómontre sans jieine que, quel que soit le nombre naturel k, les polynómes/i(*+ł),/^*+ł), ...,f_t(x+k) satisfont aussi aux conditions de 1 hypothese II,. D’aprls II, il existe done un nombre naturel x tel que les nombre* /,<x+ k),f_t(x+k), ...,/,(*+ *) sont tous premiers et_t comme on le prouve aislmcnt, pour k suffisamment ^raml tous ces nombres premiers sont aussi grand* que l’on veut. On a done II,-*II et comme, dautre part, on a dridemment H-*H,, lequivalence H, m TI se trouve dómontróe.

Quant a rhypothese H il est h remarquer quo du thóoróme 1 du travail de G. Ricci [13] on dćduit sanB peine que si les polynómes /i(-^r)?/i(x),,yr(x) satisfont aux conditions de 1'hypothóse II,, il existe une constantc C dłpendant de/,,/,,...,/«ąue pour une infinitł de nombres naturel* xchacun de* nombres/,(x), fj,*) > ■••»/«<*) a au plu* C dhriaeurs premier*.

Nous dćduirons niaintenaut tle riiypotbese II plu*ieur* consłquences.

C,. Si * est Hit nombre naturel, a, < a, < ... < a, de* entier* et *i le* binóme* /dx) = x+a, (i — 1,2,...,*) satisfont a la eondition S, il exi*te une infiniti de nombre* naturel* x pour le*quel* U(x),f_t(x),...,fJ(x) gont de* nombres premiers consłeutif*.

Dćmonstratiou dc 1’implieation II-*C,. No* binóme* łtant irrłductible* et satisfaisant ii la eondition 8, il rłsultc de II qu’il eziste une infinitł de nombre* naturel* x pour le*quel* le* nombres f,(x) (i ■■ 1,2,..., *) sont premier*. 8oit A > a,— 2a, -f- 2 un tel nombre naturel et potums

(1)

et

(* + ««)!

(A + a,)!(* + a,)...(* + «,)

«7<(x) = 6x + A-f a,    pour 1=1,2,...,*.

On a 2(A + a,) « A + A + 2a, > A+A + 2a, > A + a,+ 2 >A-fa, et, le nombre A-t-a,= /,(A) łtant premier, le* facteurs de (A + a,)! autre* que A + a₍, ćtant < l(A-t-a,), ne sont pa* divi*ible* par A-4-a₍ et il en rłsulte que (6. A + aO- 1.

Supposon* maintenant qu’il exi*te un nombre premier p tel que P\9i(x)g_t(x)...g^x) pour x = 0, 1,2,.... p—1. On a done pl9i(0)y,(0)... ...ffdO) = (A + a,)(A-f a,)...(A-f a_f) et tou* ee* faeteurs łtant premier*, il eziste un nombre naturel i<i tel que p= A + a» et d'aprds (1) et * + o»< 2<A-fa*) ■■ 2p on en conclut que p ne divi*e pa* b. II exi*te done pour tout nombre uaturel i < * un seul nombre x de la suitę 0,1, 2,..., p—1, tel que p|Ax + h + a, *= g,{x) et il rłsulte tout de suitę de PllM*)ff*(»)...0_f(*) pour x = 0, l,2,...,p—1 que p < *, done A + o*<«, et comme, d'autre part, A-f-a* > A + a, > a,— a,+ 2 5* +1 (puisąue les entier* a,, a_tt..., a, vont en eroissant) on aboutit a une contradiction.

U*s binóme* irrłductibles g,(x) (i — 1,2,...,*) satisfont done a la eondition 8 et, d'aprt>.s II, il existe une infinitł de nombres naturel* r tel* que les nombre* g,(x) (i — 1,2,...,*) sont premiers. Si pour un tel x ces nombres premiers n’ótaiont pa* consćrutifs, il exi*terait. un entier j tel que a, < j < o, et j / a,, a_t,..., a, tel que le nombre q ■» bx + h+j >A-fj serait premier. Or, comme a,<j<a, et j * a_t, a_t,a_t, on a, d apr&s (1), A + j\b, done A-f j|j >A-f j, ee qui est impossible, pui*que ^+i>* + a, qui est premier.

b implieatioti IT-*C, se trouve ainsi dłmontrłe.