2500336020

Lista druga - zadania uzupełniające Zadanie 2.10

(a)    Udowodnić, że iloczyn dwóch macierzy trójkątnych górnych tego samego stopnia jest też macierzą trójkątną górną.

(b)    Wykazać, że macierz odwrotna do nieosobliwej macierzy trójkątnej górnej jest też trójkątna górna. Które dopełnienia algebraiczne są na pewno równe zero?

Zadanie 2.11

([1], str. 65) Zapisać równania

2/1 = Xi ~ X2 + X3, U2 = 3xi+£2-4x3,    2/3 = -2x\ - 2X2 + 3X3,

z\ = 4yi - 2/2 + 2/3,    22 = -3yi + 5y₂ - 2/3

w macierzowej postaci Y = AX i Z = BY. Wykorzystać je do otrzymania bezpośredniego związku między Z i X, czyli do wyznaczenia macierzy C takiej, że Z = CX. Zastosować ten związek do wyrażenia Z\ i z₂ przez xi,x₂ i £3. Sprawdzić otrzymane wyniki przez odpowiednie podstawienia do równań.

Zadanie 2.12

(a) Macierz rzeczywista Q nazywa się ortogonalna jeśli spełnia warunek Q~^x = Q^T. Zbadać, czy poniższe macierze są ortogonalne

0 0		cos a — sin a 0
1 0 0		sin a cos o: 0
0 1 0		0 0 1

Jakie wartości może przyjmować wyznacznik macierzy ortogonalnej?

(b)    Niech A będzie macierzą nieosobliwą i niech U, V będą macierzami jednokolumnowymi. Wówczas macierz V^TA~^lU jest stopnia 1, czyli ma tylko jeden element. Niech ten jej jedyny element a będzie różny od jedynki, a 1. Korzystając z definicji macierzy odwrotnej, udowodnić następujący wzór Shermana-Morrisona:

(A - UV^T)~^l = A-¹ + -Ya-¹UV^tA~K

1 — a

(c)    Niech macierz J_n stopnia n ma wszystkie elementy równe 1. Zastosować wzór Sherman-Morrisona do wykazania, że (J — J_n)^-1 = I — J_n. A jak to można udowodnić bezpośrednio z definicji macierzy odwrotnej? Wskazówka. Zauważyć, że macierz J_n jest iloczynem macierzy jednokolumnowej o wszystkich elementach równych 1 i macierzy jednowierszowej o wszystkich elementach równych 1.

15