2567802555

Przykładami skali czasowej są:

T = R _

T = Z....................

T = hZ ..........................................................

T = P_a,_b______________

T

Skala czasowa została wprowadzona w celu ujednolicenia badań nad równaniami różniczkowymi (opisującymi modele ciągłe) i różnicowymi (opisującymi modele dyskretne). Największą zaletą wprowadzenia skali czasowej jest możliwość rozpatrywania kombinacji ciągłych i dyskretnych modeli matematycznych. Dlatego pojęcie skali czasowej może być uważane za most łączący analizę ciągłą i dyskretną. Okazało się, że jedne wyniki dotyczące równań różnicowych przenoszą się dość łatwo na odpowiednie wyniki dla równań różniczkowych, inne natomiast, dotyczące równań różnicowych, wydają się być całkowicie odmienne dla ich ciągłych odpowiedników. Rozważmy np. równanie różniczkowe: y" + y(x) = 0. Rozwiązanie ogólne tego równania ma postać: y(x) = c* cos* + c₂ sin*. Każde z rozwiązań szczególnych jest ciągłą funkcją okresową, a więc jest ograniczone.

Formalny odpowiednik dyskretny tego równania ma postać: A²y_n + y_n = 0. Jego rozwiązaniem ogólnym jest klasa ciągów y_n = c₁2”/² cos + c₂).

Przyjmując c_x = — 1 i c₂ = 7T otrzymujemy rozwiązanie szczególne y_n = 2”/² cos(rur/4).

Dla n = 8k + 1 otrzymujemy y_8fc+1 = 2^4k -* °o, gdy k -* oo. Rozwiązanie to nie jest ani okresowe, ani ograniczone.

W badaniach nad równaniami dynamicznymi na skali czasowej ujawnia się takie rozbieżności i pozwala uniknąć dowodzenia pewnych wyników dwa razy: raz dla równań różnicowych i osobno dla różniczkowych. Ogólną ideą jest udowodnienie wyników dla równania dynamicznego, gdzie dziedziną nieznanej funkcji jest tzw. skala czasowa T.

Równania dynamiczne na skali czasowej znajdują zastosowania w wielu dziedzinach nauki takich jak: mechanika, elektrotechnika, sieci neuronowe, ciepło i kombinatoryka [45, 73]. Obliczenia na skalach czasowych stosuje się w teorii sterowania i ekonomii [17].

1.1. Równania różniczkowe typu x⁽-^m^ = f(t,x) oraz funkcyjne równania różniczkowe z opóźnieniem.

W pracy [38] T.S. Chew, W. van Brunt oraz G. C. Wake zastosowali rzeczywistą całkę typu Henstocka-Kurzweila do rozwiązania zagadnienia typu: