3148972986

3148972986



1.2. Kołczany

Nie jest zaskakującym fakt, że pd^ M = d wtedy i tylko wtedy, gdy d jest najmniejszą z liczb naturalnych k o własności Ext^+1(M, iV) = 0 dla wszystkich A-modułów N. Stąd wynika, że jeśli wymiar globalny algebry A jest skończony, to jest on najmniejszą liczbą naturalną k o własności Ext^+1(M,N) = 0 dla wszystkich A-modułów M i N. Zauważmy jeszcze, że Ext°a(M, N) ~ Hom>i(M, N) oraz Torg (L, M) ~ L <S>a M dla wszystkich A-modułów M i N oraz dowolnego prawego A-modułu L.

Pojęciem dualnym do projektywności jest injektywność. Niezerowy A-moduł / jest injektywny, jeśli dla dowolnego monomorfizmu A-modułów f : M —> N oraz homomorfizmu g : M —> I istnieje homomorfizm h : N —> I taki, że g = hf. Definiujemy także powłokę injektywną A-modułu M jako monomorfizm / : M —> / taki, że I jest modułem injektywnym oraz dowolny endomorfizm a : I —» I o własności / = af jest automorfizmem. Ponownie w kategorii mod A istnieją powłoki injektywne. Analogicznie jak rezolwenty projektywne możemy zdefiniować także rezolwenty injektywne i minimalne rezolwenty injektywne oraz wykorzystać je do zdefiniowania wymiaru injek-tywnego id^ M modułów M G mod A. Ponadto wymiar globalny algebry może być równoważnie zdefiniowany jako kres górny wymiarów injektywnych A-modułów oraz przy pomocy rezolwent injektywnych można przedstawić inną konstrukcję grup rozszerzeń. W szczególności wymiar injektywny A-modułu M jest najmniejszą liczbą naturalną k o własności Ext^+1(AT, M) = 0 dla wszystkich A-modułów N.

Pierwsza grupa rozszerzeń ma dobrą interpretację w postaci ciągów dokładnych. Nie będziemy jej tutaj dokładnie omawiać, istotny dla nas będzie fakt, że jeśli Ext^(M, N) ^ 0 dla pewnych A-modułów M i N, to istnieje nierozszczepialny ciąg dokładny A-modułów postaci

0 —» N —» L —> M —>0.

1.2. Kołczany

Istotną rolę w teorii reprezentacji algebr odgrywa pojęcie kołczanu. Kołczanem będziemy nazywać układ Q = (Qo, Qi,s, e) taki, że Qq i Qi są zbiorami, zaś s,e : Q\ —> Qo dwiema funkcjami. Elementy zbioru Qo nazywamy wierzchołkami, zaś elementy zbioru Q\ strzałkami. Jeśli a G Qi jest strzałką, to x := s(q;) będziemy nazywać początkiem strzałki a, zaś y := e(a) jej końcem. Przy powyższych oznaczeniach będziemy także pisać a : x —> y lub x —* y. Zazwyczaj będziemy opuszczać funkcje s i e, i pisać Q = (Qo,Q\)• Kołczan Q jest skończony, jeśli zbiory Qo i Qi są skończone.

11



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IMGh99 (4) 90 Rozdział 2 ło w swej teorii eksperyment. Powodem takiej sytuacji był fakt, że człowiek
n (121) 190 prezentujących wtedy niemal wyłącznie monarchów, nie przyczynił się fakt, że w pobliżu B
Z tą konstatacją bynajmniej nie pozostaje w sprzeczności fakt, że Autor De la grammatologie od począ
etno (21) [] przeciw starszej, że tytanów interpretuje się tu jako *•» chaosu. Nie dziwi natomiast f
Z doświadczeń tworzenia i stosowania prawa karnego wynika jednak, że również wtedy, gdy pewien typ z
Z doświadczeń tworzenia i stosowania prawa karnego wynika jednak, że również wtedy, gdy pewien typ z
przypadku, gdy na stronie nie ciąży żaden obowiązek, jak również wtedy, gdy na stronie ciąży obowiąz
skanowanie0007 (144) jest fakt, że nie potrafiła ona wyodrębnić przedmiotu badań i określić własnej
hpqscan0115 137 Inną przyczyną powrotu do idei modernizmu jest fakt, że wiele z nich po dzień dzisie
IMAG0214 (5) Prayfcfeatf 4, MM wynikającą z icii istoty, jest fakt, ze wystawca weksla własnego nie
110 Uta Pohl-Patalong Problemem nie jest tutaj fakt, że używa się metafor w rodzaju męskim, ale to,
Wstyd i przemo0040 78 Wstyd i przemoc Wszystko to nie jest tak zaskakujące, jeśli zdamy sobie sprawę
DSC00082 LUDMIR XXXV Fakt, iż widz wie dobrze, że Ludmir nie jest w istocie szewczykiem, osłabia tu

więcej podobnych podstron