3148972986

1.2. Kołczany

Nie jest zaskakującym fakt, że pd^ M = d wtedy i tylko wtedy, gdy d jest najmniejszą z liczb naturalnych k o własności Ext^⁺¹(M, iV) = 0 dla wszystkich A-modułów N. Stąd wynika, że jeśli wymiar globalny algebry A jest skończony, to jest on najmniejszą liczbą naturalną k o własności Ext^⁺¹(M,N) = 0 dla wszystkich A-modułów M i N. Zauważmy jeszcze, że Ext°a(M, N) ~ Hom_>i(M, N) oraz Torg (L, M) ~ L <S>a M dla wszystkich A-modułów M i N oraz dowolnego prawego A-modułu L.

Pojęciem dualnym do projektywności jest injektywność. Niezerowy A-moduł / jest injektywny, jeśli dla dowolnego monomorfizmu A-modułów f : M —> N oraz homomorfizmu g : M —> I istnieje homomorfizm h : N —> I taki, że g = hf. Definiujemy także powłokę injektywną A-modułu M jako monomorfizm / : M —> / taki, że I jest modułem injektywnym oraz dowolny endomorfizm a : I —» I o własności / = af jest automorfizmem. Ponownie w kategorii mod A istnieją powłoki injektywne. Analogicznie jak rezolwenty projektywne możemy zdefiniować także rezolwenty injektywne i minimalne rezolwenty injektywne oraz wykorzystać je do zdefiniowania wymiaru injek-tywnego id^ M modułów M G mod A. Ponadto wymiar globalny algebry może być równoważnie zdefiniowany jako kres górny wymiarów injektywnych A-modułów oraz przy pomocy rezolwent injektywnych można przedstawić inną konstrukcję grup rozszerzeń. W szczególności wymiar injektywny A-modułu M jest najmniejszą liczbą naturalną k o własności Ext^⁺¹(AT, M) = 0 dla wszystkich A-modułów N.

Pierwsza grupa rozszerzeń ma dobrą interpretację w postaci ciągów dokładnych. Nie będziemy jej tutaj dokładnie omawiać, istotny dla nas będzie fakt, że jeśli Ext^(M, N) ^ 0 dla pewnych A-modułów M i N, to istnieje nierozszczepialny ciąg dokładny A-modułów postaci

0 —» N —» L —> M —>0.

1.2. Kołczany

Istotną rolę w teorii reprezentacji algebr odgrywa pojęcie kołczanu. Kołczanem będziemy nazywać układ Q = (Qo, Qi,s, e) taki, że Qq i Qi są zbiorami, zaś s,e : Q\ —> Qo dwiema funkcjami. Elementy zbioru Qo nazywamy wierzchołkami, zaś elementy zbioru Q\ strzałkami. Jeśli a G Qi jest strzałką, to x := s(q;) będziemy nazywać początkiem strzałki a, zaś y := e(a) jej końcem. Przy powyższych oznaczeniach będziemy także pisać a : x —> y lub x —* y. Zazwyczaj będziemy opuszczać funkcje s i e, i pisać Q = (Qo,Q\)• Kołczan Q jest skończony, jeśli zbiory Qo i Qi są skończone.

11