ÿþR e g r e s j a n a k w a n t y l a c h
J e r z y M y c i e l s k i
2 0 0 8
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 1 / 1 3
R e g r e s j a d l a w a r t o [c i o c z e k i w a n e j
W p r z y p a d k u r e g r e s j i d l a w a r t o [c i o c z e k i w a n e j m o d e l u j e m y z a l e |n o [
m i e d z y w a r t o [c i a o c z e k i w a n a a z m i e n n y m i o b j a [n i a j a c y m i
H i p e r p a s z c z y z n a r e g r e s j i y n a x d l a w a r t o [c i o c z e k i w a n e j j e s t
w a r u n k o w a w a r t o [c i a o c z e k i w a n a
E ( y | x ) = µ ( x )
I n t u i c y j n i e , h i p e r p a s z c z y z n a r e g r e s j i p o d a j e z a l e |n o [ m i e d z y
o c z e k i w a n a w i e l k o [c i a y d l a z n a n e g o x
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 2 / 1 3
R e g r e s j a d l a k w a n t y l i
B e z w a r u n k o w a
K w a n t y l Ä j e s t t a k a w i e l k o [c i a k t r a j e s t w i e k s z a l u b r w n a o d y z
p r a w d o p o d b i e Ds t w e m Ä.
B e z w a r u n k o w y k w a n t y l Ä b e d z i e m y w i e c d e f i n i o w a j a k o t a k i e ¾, d l a
k t r e g o
F ( ¾Ä) = Ä.
D l a z n a n e j p o s t a c i d y s t r y b u a n t y F k w a n t y l Ä m o |n a p o l i c z y j a k o
- 1
¾Ä = F y ( Ä) .
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 3 / 1 3
W p r z y p a d k u r e g r e s j i n a k w a n t y l a c h m o d e l u j e m y z a l e |n o [ m i e d z y
w i e l k o [c i a k w a n t y l a Ä a w i e l k o [c i a z m i e n n y c h n i e z a l e |n y c h .
W a r u n k o w y k w a n t y l Ä m o |n a w i e c z d e f i n i o w a j a k o
F y ( ¾| x ) = Ä.
W y n i k a z t e g o , |e
- 1
¾Ä ( x ) = F y ( Ä| x )
Z a u w a |m y , |e d l a k a |d e g o k w a n t y l a , p o s t a f u n k c j i r e g r e s j i m o |e
w y g l a d a n i e c o i n a c z e j
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 4 / 1 3
K w a n t y l e
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 5 / 1 3
K r z y w e E n g l a
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 6 / 1 3
E s t y m a c j a p a r a m e t r w - r e g r e s j a n a w a r t o [c i o c z e k i w a n e j
W p r z y p a d k u r e g r e s j i d l a w a r t o [c i o c z e k i w a n e j s t a n d a r d o w o s t o s u j e
s i e m e t o d e n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t w .
Z a k a d a m y , |e µ ( x ) j e s t d a n a f u n k c j a p a r a m e t r y c z n a µ ( x , ²) o
n i e z n a n y m w e k t o r z e p a r a m e t r w ².
W e k t o r ² z n a j d u j e m y m i n i m a l i z u j a c s u m e k w a d r a t w r e s z t :
N
m i n [ y i - µ ( x i , ²) ] 2
"
²"R K i
= 1
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 7 / 1 3
E s t y m a c j a p a r a m e t r w - r e g r e s j a n a k w a n t y l a c h
M e d i a n a
W p r z y p a d k u r e g r e s j i n a k w a n t y l a c h e s t y m a c j e m o |n a t a k |e
s p r o w a d z i d o r o z w i a z y w a n i a p r o b l e m u m a k s y m a l i z a c y j n e g o .
R o z p a t r z m y n a j p r o s t s z y p r z y p a d e k s z u k a n i a m e d i a n y y ( Ä = 0 . 5 )
p o p r z e z r o z w i a z y w a n i e n a s t e p u j a c e j f u n k c j i c e l u
m i n | y i - ¾0 . 5 |
¾0 . 5 "R
W a r u n k i p i e r w s z e g o r z e d u d l a t e g o p r o b l e m u ( d l a N n i e p a r z y s t e g o i
y i = y i d l a i = j ) b e d a m i a y n a s t e p u j a c a p o s t a :
N
[ I ( y i > ¾0 . 5 ) - I ( y i < ¾0 . 5 ) ] = 0
"
i = 1
l u b
I ( y i > ¾0 . 5 )
"N
i = 1
= 1
I ( y i < ¾0 . 5 )
"N
i = 1
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 8 / 1 3
W a r u n e k p i e r w s z e g o r z e d u b e d z i e w i e c s p e n i o n y d l a ¾0 . 5 r w n e m u y i ,
k t r e j e s t m e d i a n a z p r b y .
W o g l n i e j s z y m p r z y p a d k u e s t y m a c j i p a r a m e t r w r e g r e s j i n a m e d i a n i e
r o z w i a z u j e m y n a s t e p u j a c y p r o b l e m m a k s y m a l i z a c y j n y :
m i n | y i - ¾0 . 5 ( x , ²) |
²"R K
Z a u w a |m y , |e e s t y m a t o r d l a r e g r e s j i d l a m e d i a n y j e s t r w n o w a |n y
e s t y m a t o r o w i L A D ( L e a s t A b s o l u t e D e v i a t i o n )
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 9 / 1 3
E s t y m a c j a p a r a m e t r w - r e g r e s j a n a k w a n t y l a c h
D l a d o w o l n e g o Ä o s z a c o w a n i e k w a n t y l a z p r b y m o |n a z n a l e z
r o z w i a z u j a c z a d a n i e :
m i n ÁÄ ( y i - ¾Ä)
¾Ä"R
g d z i e
Äx d l a x > 0
ÁÄ ( x ) =
( 1 - Ä) x d l a x < 0
W a r u n k i p i e r w s z e g o r z e d u w t y m p r z y p a d k u b e d a m i a y p o s t a
I ( y i > ¾0 . 5 ) 1 - Ä
"N
i = 1
=
Ä
I ( y i < ¾0 . 5 )
"N
i = 1
E s t y m a t o r e m j e s t o d p o w i e d n i k w a n t y l e m p i r y c z n y .
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 1 0 / 1 3
W o g l n i e j s z y m p r z y p a d k u e s t y m a c j i p a r a m e t r w r e g r e s j i n a m e d i a n i e
r o z w i a z u j e m y n a s t e p u j a c y p r o b l e m m a k s y m a l i z a c y j n y :
m i n ÁÄ ( y i - ¾Ä ( x , ²) )
²"R K
R o z w i a z a n i e t e g o p r o b l e m u m a k s y m a l i z a c j i z n a j d u j e s i e m e t o d a m i
p r o g r a m o w a n i a l i n i o w e g o ( s i m p l e x )
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 1 1 / 1 3
R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h - z a l e t y
P r z e p r o w a d z a j a c r e g r e s j e n a s z e r e g u k w a n t y l i , o p i s u j e m y z a l e |n o [
c a e g o r o z k a d u z m i e n n e j z a l e |n e j o d z m i e n n y c h n i e z a l e |n y c h a n i e
t y l k o w a r t o [c i o c z e k i w a n e j z m i e n n e j z a l e |n e j
H e t e r o s k e d a s t y c z n o [ m o |n a a t w o w y k r y a n a l i z u j a c w y n i k i r e g r e s j i
n a k w a n t y l a c h
W p r z y p a d k u w y s t e p o w a n i a h e t e r o s k e d a s t y c z n o [c i e s t y m a c j a r e g r e s j i
n a m e d i a n i e m o |e o k a z a s i e b a r d z i e j e f e k t y w n y m s p o s o b e m s z u k a n i a
w a r t o [c i p a r a m e t r w n i | r e g r e s j a n a w a r t o [c i o c z e k i w a n e j
K w a n t y l z m i e n n e j l o s o w e j p r z e k s z t a c o n e j z a p o m o c a p r z e k s z t a c e n i a
m o n o t o n i c z n i e r o s n a c e g o g ( y ) j e s t r w n y p r z e k s z t a c o n e m u w t e n
s a m s p o s b k w a n t y l o w i o r y g i n a l n e j z m i e n n e j
- 1 - 1
¾Ä ( x ) = F g ( y ) ( Ä| x ) = g F y ( Ä| x )
R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h j e s t o d p o r n a n a p r o b l e m o u t l i e r w
( o b s e r w a c j i b e d n y c h )
J e r z y M y c i e l s k i ( ) R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h 2 0 0 8 1 2 / 1 3
R e g r e s j a n a k w a n t y l a c h - t r u d n o [c i
N a j w i e k s z y p r o b l e m z w i a z a n y z r e g r e s j a n a k w a n t y l a c h z w i a z a n y j e s t
z b r a k i e m w z o r w a n a l i t y c z n y c h n a m a c i e r z w a r i a n c j i i k o w a r i a n c j i
u z y k a n y c h o s z a c o w a D.
W z w i a z k u z t y m t r u d n i e j s z e j e s t z n a j d y w a n i e p r z e d z i a w u f n o [c i
o r a z w e r y f i k a c j a h i p o t e z s t a t y s t y c z n y c h
O s z a c o w a n i a m a c i e r z y w a r i a n c j i i k o w a r i n a c j i m o |n a z n a l e z m e t o d a
b o o t s t r a p
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