3262347681

WvUadv

. Jatka Osittralshkgo

17

e~N^t(0,o²I)

co czytamy: epsilon ma T-wymiarowy łączny rozkład normalny o wartości oczekiwanej będącej wektorem zerowym i macierzy kowariancji danej wzorem O I. W stosunku do poprzednio wprowadzonego zapisu to jest uogólnienie na przypadek wielowymiarowy, czyli w nawiasie podajemy wektor wartości oczekiwanych (oznaczany fx) i macierz kowariancji, najczęściej oznaczanąjako jC. Ogólnie:

z~N^t(M.£)

A co oznacza: „ma łączny wielowymiarowy rozkład normalny”?

{dygresja: w ekonometrii nie ma słów „niewinnych”. Najczęściej jest tak, że każde słowo na swoim miejscu coś znaczy, i zastąpienie go podobnym lub pominięcie odwraca cały sens. Powoduje to przykre niespodzianki na egzaminie przy punktowaniu interpretacji. Jeśli coś jest jakoś napisane, to znaczy, że ma być dokładnie tak, i warto się zastanowić dlaczego. Albo, że Profesor się pomylił {tu jeszcze ja się mogę pomylić BM}, ale to nie zmienia reguły, bo Profesor zdecydowaną większość czasu mówi do rzeczy i tylko czasem się myli.}

{dygresja 2. Pytanie „co oznacza?” czytaj zazwyczaj: „Jak jest zdefiniowany?”}

Definicja:

Wielowymiarowa zmienna losowa z (będąca wektorem losowym) ma T-wymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie niezerowe kombinacje liniowe jej elementów mają jednowymiarowy rozkład normalny.

z ma wielowymiarowy rozkład normalny <=>

T

ma 1-wymiarowy rozkład normalny.

V c'z=£c,z,

_(ice9t^T\{0}    t=l

W szczególności z tej definicji wynika, że wszystkie składowe mają rozkład normalny, jednak nie odwrotnie, tzn. z normalności wszystkich składowych nie wynika wielowymiarowa normalność.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (p.d.f. : probability density function - nie mylić z *.pdf) T-wymiarowego nieosobliwego rozkładu normalnego z parametrami p, £:

P(z;m£) = f>|    = (2jt)‘-^T'^2l(det L)"^:exp |-l/2(z-|i)'r’(z-|i)]

gdzie (bezpośrednia interpretacja probabilistyczna):

V(z) = L i E(z) = |i

p, £ to odpowiednio (Txl) wektorowa wartość oczekiwana i (TxT) macierz kowariancji (symetryczna i dodatnio określona, dająca się odwracać, dzielić, pierwiastkować na przekątnej)