3475915922

Metody numeryczne - 7. Całkowanie numeryczne

w implementacji i choć mniej dokładne niż kwadratury Gaussa dają jednak dużo lepsze wyniki niż metody Monte Carlo.

Metody

probabilistyczne

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

'l'

Monte Carlo

Metody

deterministyczne

łS V

Kwadratury    Kwadratury

Newtona-Cotesa    Gaussa

dokładność łatwość implementacji

Rysunek 7.2. Wybrane metody całkowania numerycznego Zwykła kwadratura polega na zastąpieniu danej funkcji f w przedziale [a,b] funkcją prostszej postaci (najczęściej wielomianem) i przyjęciu przybliżenia:

b    b

I /O) dx * J g(x) dx.    (7.1)

a    a

Funkcja g powinna być taka, aby całkę (7.1) można było łatwo policzyć. Dlatego też najczęściej wykorzystuje się właśnie wielomiany. Ogólna metoda wyznaczania funkcji g wynika

z rozważań przedstawionych w rozdziale 6: wystarczy wybrać kilka punktów należących do wykresu funkcji / (na przykład równomiernie rozłożonych na przedziale [a,b]), a następnie poprowadzić przez nie wielomian interpolacyjny obliczony za pomocą jednego z poznanych wzorów interpolacyjnych. Ten wielomian podstawiamy następnie do wzoru jako funkcję g. Najprostsza kwadratura wykorzystuje interpolację w postaci wielomianu stopnia zerowego, tzn. g jest funkcją stałą. Metoda prostokątów, bo tak jest nazywana, jest jednak bardzo niedokładna, dlatego też rzadko jest używana.

Wśród metod całkowania numerycznego najpopularniejsze są:

a)    metoda trapezów,

b)    metoda parabol (Simpsona),

c)    metoda 3/8 Newtona.

7.2. Metoda trapezów

Wzór trapezów otrzymujemy przybliżając wykres funkcji y = f(x) w przedziale [a, b] wykresem wielomianu stopnia pierwszego, czyli prostą przechodzącą przez punkty (x₀, y₀),

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 81