3754969707

12

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

Dowód. Części (iii) (iv) oraz (iii) => (*) są oczywiste. Udowodnimy teraz (i) => (ii). Z wzorów Freneta mamy, że:

e'3 = —re₂.

Zakładamy, że c jest krzywą płaską. Wiemy więc, że e$ stały, czyli e'₃ = 0. Ponieważ e₂ nie jest wektorem zerowym to natychmiast dostajemy, że r = 0.

Wynikanie (ii) =>■ (i) otrzymujemy wprost z udowodnionego wcześniej faktu i z równości d₃ = — re₂.

Pozostało do pokazania, że z punktu (ż) wynika (iii). Załóżmy, że to € I. Jeśli c jest krzywą płaską, to płaszczyzna P zawierająca c i płaszczyzna II równoległa do płaszczyzny ściśle stycznej w punkcie c(t₀) i zawierająca ten punkt są równoległe (wektor 63(^0) jest prostopadły do obu tych płaszczyzn). Ponieważ c(to) £ P n II, oraz P i II równoległe, to P = II.    □

Uwaga 1.4.5. Do obliczenia krzywizny i skręcenia krzywej w przestrzeni R³ można korzystać z wzorów:

t -

(d x c", d") _ det[d, c", d"\ Id x c"I²    Id x c"I²