12
ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH
Dowód. Części (iii) (iv) oraz (iii) => (*) są oczywiste. Udowodnimy teraz (i) => (ii). Z wzorów Freneta mamy, że:
e'3 = —re2.
Zakładamy, że c jest krzywą płaską. Wiemy więc, że e$ stały, czyli e'3 = 0. Ponieważ e2 nie jest wektorem zerowym to natychmiast dostajemy, że r = 0.
Wynikanie (ii) =>■ (i) otrzymujemy wprost z udowodnionego wcześniej faktu i z równości d3 = — re2.
Pozostało do pokazania, że z punktu (ż) wynika (iii). Załóżmy, że to € I. Jeśli c jest krzywą płaską, to płaszczyzna P zawierająca c i płaszczyzna II równoległa do płaszczyzny ściśle stycznej w punkcie c(t0) i zawierająca ten punkt są równoległe (wektor 63(^0) jest prostopadły do obu tych płaszczyzn). Ponieważ c(to) £ P n II, oraz P i II równoległe, to P = II. □
Uwaga 1.4.5. Do obliczenia krzywizny i skręcenia krzywej w przestrzeni R3 można korzystać z wzorów:
t -
(d x c", d") _ det[d, c", d"\ Id x c"I2 Id x c"I2