2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI

Przykład 2.4.5.    1. Krzywizna płaszczyzny wynosi zero, ponieważ każdemu punk

towi płaszczyzny odwzorowanie n przyporządkowuje jeden, ten sam wektor, więc pole n(Ak) zawsze wynosi 0.

2. Krzywizna sfery o promieniu R wynosi ^2, ponieważ dla dowolnego punktu p sfery dwuwymiarowej o promieniu R, n(p) = j^p, a co za tym idzie pole (A*,) =

■^2 polen(yl_fc).

Twierdzenie 2.4.6. Jeśli M jest rozmaitością dwuwymiarową klasy C², to:

VpeM-K_M(p) = det dn_p.

Lemat 2.4.7. Jeśli L: V —> V jest przekształceniem liniowym przestrzeni dwuwymiarowej, v, w G V, to:

det[L(u), L(w)] = det L det [v, tu].

Dowód. Niech a będzie bazą przestrzeni V, oraz niech dana będzie macierz L w tej bazie: M_QQ(L) = [oty]. Niech v = {v\,v₂),w = {wi,w₂). Wtedy:

det [Lv,Lw] = det ^[oy] j^^{1    =} det L det [u, tu].    □

Lemat 2.4.8. Załóżmy, że U jest otwartym, spójnym podzbiorem M”. Funkcje f,g: U —* R są ciągłe. Ponadto rodzina {Afc}fc_€fj podzbiorów U jest ciągiem otwartych, spójnych i ograniczonych otoczeń punktu p. Jeżeli diamAfc = S(Ak) —> 0,

Ja, fdx /(p) f_Atgch:    g(py

Dowód. Niech mk,Mk oznaczają odpowiednio najmniejszą i największą wartość funkcji / na zbiorze A*, oraz niech m(A) oznacza miarę Lebesguea zbioru A. Wtedy:

^0e[m_t,Af_t] = /( A_k).

Z twierdzenia o wartości pośredniej (własność Darboux) istnieje Xk € A*, takie, że:

Analogicznie, dla g istnieje y_k takie, że: g(yk) = m(A_k) • Ponieważ 5(Ak) —* 0, oraz P € n*_sn A*, więc x_k -> p i y_k -> p, a stąd:

fA_kf^dx    /a./*    m(A_fc)    f(x_k)    f(p)

lim —a——    = lim ——    ■ — —    = hm    ——    =    ——

Ja, 9^dx    ł-°° ^m(A_t)    jA_k gaz    g(yk    g(p)

□