3754969713

18

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Dowód twierdzenia 2.4.6. Zauważmy, że sgn dn_p = sgn Km(p), więc aby udowodnić twierdzenie, wystarczy sprawdzić, że \K_M(p)\ = | det(dn_p)|. Niech r: D —> M będzie lokalną mapą w otoczeniu punktu p. Niech {Dk}ken będzie ciągiem otwartych, spójnych, ograniczonych podzbiorów D takich, że S(Dk) —> 0. Wtedy r^-1(p) G flfceN Dk-Z definicji iloczynu wektorowego \r_u x r_v\ jest polem równoległoboku rozpiętego na r_u i r_v i jest ono równe \det[r_u, r„]|.

Zauważmy, że pole n(r(Dk) można wyrazić przez całkę:

JJ | det[(n o r)u, (n o r)v] |dwdu = JJ | det[dn(_Ui„)(r_u), dn^_UtV)(r_v)]\dudv.

Niech f(u,v) = \det[dn(_UtV)(r_u),dn(_UtV)(r_v)]\. Z lematu 2.4.7 wynika: f(u,v) = det dn(_u,_v)\det[r_u,r_v]\.

Niech g(u,v) = |det[r_u,r„]|.

\K_M{p)\ = lim

k—*oo

polen(r(g_t))

poler(D_fc)

,. !Sp_k f(u, v)dudv JId„ g(^ui v)dudv

D-r = I det dn_p I.

g(p)

□

2.4.2 Druga forma kwadratowa i przekroje normalne

Definicja 2.4.9 (druga forma kwadratowa). Odwzorowanie, które każdemu punktowi p G M przyporządkowuje formę kwadratową:

T_PM 3ih (—dn_p(x),x) G R

nazywamy drugą formą kwadratową.

Poza zdefiniowaną wyżej formą kwadratową, będziemy rozpatrywać też wyznaczoną przez nią, formę dwulinową:

II: T_pM x TpM B (x,y)    (—dn_p(x),y) G R

Definicja 2.4.10 (przekrój normalny). Niech p G M, x G ST_PM = {v G T_PM : ||v|| = 1}. Niech P_x oznacza płaszczyznę rozpiętą na wektorach n(p) oraz x. Przekrojem normalnym M w kierunku x nazywamy sparametryzowaną łukowo krzywą płaską c powstałą w wyniku przecięcia powierzchni M płaszczyzną P_x taką, że d\_p = x oraz c(0) = p.

Krzywiznę K_c(p) nazywamy krzywizną przekroju normalnego i oznaczamy K_x. Aby jednoznacznie określić krzywiznę przekroju normalnego należy ustalić orientację płaszczyzny P_x. Jest ona zadana przez dodatnio zorientowaną bazę x,n(p), tzn. układ x,n(p) ma być reperem Freneta krzywej c w punkcie p.