3813573915

11

1.1. STRUKTURY ALGEBRAICZNE PROSTE

(M2) (neutralność stałej e względem działania grupowego)

S x {■} ^lds*'*° )SxS

<p2

s

= VaeS '■ (f>2(a,e) = a = 4>2(e,a).

Monoid przeciwny do (5, 02, 0o) to monoid (5, 02^PP, 0o) z operacją binarną daną wzorem

02^PP == 02° r_s,

patrz: Konw. 2.

Monoid przemienny to taki, w którym operacja binarna jest przemienna, co wyraża diagram przemienny (wypisany wraz z równoważnym zdaniem logicznym)

SxS—2_*SxS

fe = ^vo,6sS ^: ifo(a,b) = tt>₂(b,a),

S

a zatem taki, który jest kanonicznie izomorficzny z monoidem do niego przeciwnym,

(s,<h> M 's? (s, ^2^PP. <h) •

Podmonoid monoidu (5,02,0o) to trójka (T,02 hrxT> 0o)? ^w której T jest podzbiorem 5 o następujących własnościach:

(SM1) (t>2 : T^x2—>Tc5;

(SM2) 5se.

Mówimy, że operacje monoidu ograniczone do T domykają się w T.

Homomorfizm monoidu (5i,02¹\0q^) ^w monoid    0q²^) to od

wzorowanie

X : Si —- &

o własności wyrażonej przez diagram przemienny (wypisany wraz z równoważnym zdaniem logicznym):

•Si x Si —¹-> S\

x^xx    x

5₂xS₂—-->S₂

4 >

ói^l>

Va,6«s, ■ x°Ą¹⁾(a,b) = <Pⁱ2⁾ (x(a),x(b)) .

Zwracamy uwagę, że nierzadko narzucenie warunku zachowania niektórych tylko elementów rozważanej struktury algebraicznej pociąga za sobą zachowanie tejże w całości. Przykładu dostarcza tutaj przywołane poniżej homomorfizmy grup.

Przed przejściem do dyskusji przykładów, warto wysłowić ogólną i oczywistą, acz ważną obserwację.