426907379

Wykład 1

Przykład 1

Znaleźć funkcję y = y{x), taką, że

^ = ay(x) (y' = ay).

Rozwiązanie: y(x) = Ce^ax, dla dowolnej liczby rzeczywistej C.

Jeśli zadamy warunek początkowy y(xo) = Co, to Co = Ce^axo, czyli C = Coe~^ax°.

Ogólniej, będziemy rozpatrywać równanie różniczkowe

(1.1)

y' = f(x,y) x,y € R,

tzn. poszukiwać funkcji różniczkowalnej y: R R, takiej aby równanie to było spełnione.

Uwagi:

Równanie ma następującą interpretację geometryczną: styczne do wykresu szukanej funkcji y w punkcie (x,y(x)) są nachylone do osi odciętych pod kątem o tangensie równym f(x, y(x)). Inaczej mówiąc, wektor styczny do wykresu, parametryzowany zmienną x: (^, (inne oznaczenie: (x,y)) jest równy (1, f(x, y(x))). Na ogół kropka oznacza pochodną po zmiennej t, nazywanej czasem. Jeśli t = x to (x, y) = (1, f(x, y)), czyli równanie ma postać układu:

Problem rozwiązania równania sprowadza się zatem do znalezienia krzywych x(t),y(t), spełniających dany układ.

Jeśli f(x,y) = f(y), tzn. / nie zależy od czasu x, to mówimy, że równanie jest autonomiczne, w przeciwnym razie, że jest nieautonomiczne.

Przykład 2 (Jak powstaje równanie różniczkowe)

Jeśli przez k oznaczymy roczne oprocentowanie, natomiast przez Nq - kapitał początkowy, to, przy założeniu, że kapitalizacja następuje co rok, po T latach mamy kwotę N₀(l + k)^T. Przypuśćmy, że kapitalizacja następuje częściej, w odcinkach czasu £, z oprocentowaniem £. Wtedy po T latach mamy kwotę iVo(l + £)^nT. Gdy n —> oo mamy Nt = Noe^kT, czyli więcej niż N₀(l + k)^T (Zauważmy, że 1 + k jest częścią liniową funkcji k i-» e^k w punkcie 0).

3