490575226

7

1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY

Injektywny homomorfizm grup h : G —> G' nazywa się zwykle monomorfizmem, zaś homomorfizm surjektywny nazywa się epimorfizmem. Tak więc każdy monomor-fizm grup jest monomorfizmem kategoryjnym i każdy epimorfizm grup jest epimorfizmem kategoryjnym. Można pokazać, że twierdzenia odwrotne są także prawdziwe i w związku z tym nie ma konieczności rozróżniania morfizmów grupowych i kate-goryjnych. W rozdziale 5 dyskutujemy ten problem w pełnej ogólności.

Homomorfizm, który jest równocześnie monomorfizmem i epimorfizmem nazywa się izomorfizmem.

Najważniejszym przykładem homomorfizmu grup jest homomorfizm kanoniczny k : G —* G/H, gdzie H jest dowolną podgrupą normalną grupy G. Jest on określony następująco: «(a) = aH dla a 6 G. Jest to epimorfizm oraz ker k = H. A więc każda podgrupa normalna H grupy G jest jądrem pewnego homomorfizmu grupy G w odpowiednio dobraną grupę G' (na przykład na grupę ilorazową G/H). Sformułujemy teraz trzy podstawowe twierdzenia o homomorfizmach grup.

Twierdzenie 1.1.4. (Twierdzenie o faktoryzacji.)

Jeśli h : G —> G¹ jest homomorfizmem grup, J := ker h oraz k : G —> G/J jest homomorfizmem kanonicznym, to istnieje dokładnie jeden monomorfizm h* : G/J —> G' taki, że h = h* o k, a więc taki, że następujący diagram jest przemienny:

k    h*

^KG/J

Homomorfizm h* definiuje się kładąc h*(aJ) = h(a) dla a € G.

Z tego twierdzenia wynika, że każdy homomorfizm h : G —> G¹ ma rozkład postaci

G G/J imfc M G',

gdzie k jest homomorfizmem kanonicznym, /i* jest izomorfizmem oraz j jest włożeniem. Innym bardzo użytecznym faktem jest następujący wniosek.

Wniosek 1.1.5. Jeśli h : G —> G' jest epimorfizmem grup, to homomorfizm h» jest izomorfizmem i wobec tego

G/ ker h = G'.

Uwaga 1.1.6. Twierdzenie o faktoryzacji można sformułować w następującej nieco ogólniejszej formie.

Niech H będzie podgrupą normalną grupy G i niech h : G —► G' będzie homomorfizmem grup. Jeśli H C ker h, to istnieje dokładnie jeden homomorfizm h, : G/H —* G' taki, że h = h* o k, gdzie k : G —* G/H jest homomorfizmem kanonicznym. Ponadto, jeśli H = ker h, to h* jest monomorfizmem.

Założenie, że H C kerh pozwala określić /i* formułą h*(aH) = h(a). Rzeczywiście, jeśli aH = bH, to a~^lb 6 H C kerh, skąd wynika, że h(a) = h(b). Ponadto, jeśli H = ker h, to h(a) = 1 pociąga aH = H, zatem /i» jest monomorfizmem.