5270660036

Termodynamika Techniczna dla MWT, wykład 6. © AJ Wojtowicz IF UMK

Jaka będzie średnia energia oscylatora w dużym zbiorze N oscylatorów, z których każdy drga z częstością co, a prawdopodobieństwo że oscylator będzie miał energię E_{tot n} = n -fao jest opisane prawem Boltzmanna? Rozsądne wydaje się przyjąć, że:

<^E>=

Eęalk

N

N₀/ico(o + x + 2x² +3x³ + ...) N₀(l + x + x² + x³ + ...)

(12)

gdzie Ecaik jest całkowitą energią wszystkich N oscylatorów i: x = _e^_/iC0/^kT; N = N₀ +Nj + N₂ + ...

Mamy zatem szereg geometryczny.

Suma wyrazów nieskończonego szeregu geometrycznego jest równa:

Z ^a0^x"

n=0

^a0 1 — x

Mianownik wyrażenia (12) to szereg geometryczny o ilorazie x i pierwszym wyrazie 1, zatem:

,    2    3    4    1

l + x + x +x +x +...    =-

1 - X

Licznik z kolei, to nieskończona suma szeregów geometrycznych, jak pokazano poniżej:

2    3    4    ^x

x + x +x +x +...    =-

0 + x² +x³ + x⁴ +... 0 + 0 +x³+x⁴+... 0 + 0 +0 + x⁴ +...

1 — X

Po obliczeniu sum pojedynczych ciągów widzimy, że ich suma to także szereg geometryczny, o ilorazie x i pierwszym wyrazie l/(l-x). Zatem wynik końcowy, po uwzględnieniu licznika i mianownika:

(l-x)² _ x _    1

-1

1    “l —x“!

1 -X    X

Co oznacza, że średnia energia pojedynczego oscylatora wyniesie: Eraik ⁿoM 0 + x + 2x² +3x³ +...)    /-_/0)

<E>

^Łcalk . calk

N,

N₀1 l + x + x +x +..

ha

ekT -1

-57-