6442373933

14

1. STRUKTURY ALGEBRAICZNE

Na zbiorze f2(X; £*) pętli o bazie x* € X określamy operację o zwaną mnożeniem (lub składaniem) pętli, daną wzorem

O : n(X-,x*)*²—: (71,72) »—*7l°72,

7i

7i(20 72(2*-1)

dla t € [0, |] dlaie[i,l] ’

jak również operację 1-argumentową zwaną braniem odwrotności (lub odwracaniem) pętli

7(0 =7(1-0 •

Na tym etapie konstrukcji pojawiają się dwa naturalne pytania: Czy możemy - kierując się intuicją algebraiczną - zdefiniować na fl(X;a:*) (lub na zbiorze prosto z nim związanym) strukturę grupy indukowaną przez powyższe operacje? Czy możemy - kierując się tą samą intuicją - utożsamić w jakiś naturalny sposób pętle 71 i 72 różniące się jedynie reparametry-zacją, tj. spełniające tożsamość

72 = 7i ⁰ 0

dla pewnego odwzorowania ciągłego

q:IO, e(0) = 0 a e(l) = 1?

Twierdzącej (i konstruktywnej) odpowiedzi na oba pytania dostarcza koncepcja przejścia od zbioru ęi(X\x*) do zbioru Q(X-,x*)/ ~ klas abstrakcji względem relacji homotopijnej równoważności (albo inaczej homoto-pijności), przy czym pętle 71,72 € Q(X;x*) uznajemy za równoważne, gdy istnieje homotopia przeprowadzająca 71 na 72, tj. odwzorowanie ciągłe

h : r² —> X

o własnościach

H(s,0) =7i(s)

V„,«J :

. H(0,t)=x, =H(l,t)

Jak nietrudno pokazać, pętle różniące się reparametryzacją są homotopij-nie równoważne. Ponadto definiując operacje: mnożenie

* : n(X;x,)/~ xfl(X;x,)l-->n(X;x,)/~: ([ti]~. [72]-) •—<► [71 °72]~

oraz branie odwrotności

Inv : Cl(X;x*)/--- Cl(X-,x*)/ ~ : [7]-¹—* [7]- ,

otrzymujemy strukturę grupy na zbiorze klas homotopii pętli o bazie x*, 7Ti(X;x*) := (f2(X;a:*)/ ~, *,Inv,« 1—► [e®,]-) •

Jest to zapowiedziana wcześniej grupa podstawowa X o bazie x* e X. W oczywisty sposób pozwala nam ona skwantyfikować elementarną cechę