5910202092

6

I. PRZESTRZENIE BANACHA

1.8. Przykład. Niech 1 < p < oo. Oznaczmy przez SP zbiór tych ciągów zespolonych {&_n}, dla których \x_n\^p < oo i oznaczmy

Pokażemy, że SP jest przestrzenią liniową a || ||_p normą zupełną. Udowodnimy w tym celu dwie ważne nierówności:

1.9. Nierówność Hóldera. Jeśli {rc_n} e i^p, {y_n} e S^q, gdzie p,q > 1 oraz 1/p + l/q = 1, to {x_ny_n} należy do Sr i zachodzi nierówność

0°    CO    1 / OO    . I

(EM¹)

n=l

n=l

n=l

Dla dowodu zauważmy najpierw, że

ab < -a^p + -b^q dla dowolnych a, b > 0.

p q

Można to łatwo odczytać z rysunku obok, bo

t

a funkcje t = s^p 1 oraz s = t^q 1 są wzajemnie odwrotne.

Jeżeli jedna z sum po prawej stronie nierówności Hóldera jest równa zeru, to nierówność oczywiście zachodzi. Jeśli zaś obie sumy, które oznaczymy odpowiednio x^p i y^p, są różne od zera, to nierówność też jest spełniona, bo mamy

1.10. Nierówność Minkowskiego. Niech p > 1. Jeżeli {x_n},{y_n} e SP, to