6628926841

Wystarczy zauważyć, że 9 = (0,0) i dla każdego v € K² wektorem przeciwnym jak w (V5) jest —v = (—vi, —02).    □

Definicja 1.1.3. Mówimy, że wektory d,ioGR² są równoległe i piszemy v || w, gdy jeden z nich jest iloczynem pozostałego przez pewien skalar.

Jeżeli jeden z wektorów v,w € K² jest iloczynem drugiego przez nieujemny skalar, to mówimy, że wektory te mają ten sam zwrot i piszemy v j"T w.

Stwierdzenie 1.1.4. Dla dowolnych wektorów u,v,w zachodzą warunki:

1.    v || 9, v TT 0,

2.    v || —v,

3.    v fT wtedy i tylko wtedy, gdy v = 0,

4.    v || w wtedy i tylko wtedy, gdy v tt ^w lub v ft —w,

5.    dla wektorów niezerowych jeżeli u || u i u || iw, to u || «;.

Dowód:

□

1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych

Definicja 1.2.1. Macierzą 2x2 nazywamy układ 4 = 2-2 liczb postaci

A =

a 11 021

U12 1

«22 J

przy czy pierwsza (odpowiednio druga) liczba dolnego indeksu wskazuje numer wiersza (odpowiednio kolumny), w którym umieszczony jest dana liczba.

Zbiór wszystkich macierzy 2x2 oznaczamy przez M22-

Definicja 1.2.2. Wyznacznikiem macierzy 2x2

_ T «n 0-12 1

[ 021 022 J

nazywamy liczbę

.    . ciii a\2

det A =    = dnd22 ^— ^12^21

| 021    022 |

Stwierdzenie 1.2.3. Wyznacznik macierzy 2x2 ma następujące własności:

1.    Zamiana wierszy macierzy zmienia znak wyznacznika na przeciwny.

2.    Pomnożenie wiersza macierzy przez skalar a powoduje pomnożenie wyznacznika przez a.

3.    Dodanie do pewnego wiersza macierzy innego jej wiersza pomnożonego przez skalar nie zmienia wyznacznika.

4.    Własności analogiczne do 13 są prawdziwe dla kolumn.

3