6628926847

gdzie ai,02,03,6 6 R.

Stwierdzenie 2.6.2. Zbiorem rozwiązań równania liniowego z trzema niewiadomymi

aixi + 0*2X2 + 03X3 = b

jest

1.    zbiór pusty, gdy a\ = 02 = 03 = O, b 7^ O,

2.    cała przestrzeń R³, gdy 01=02 = 03 = 6 = 0,

3.    płaszczyzna, gdy ai 7^ O lub 02 7^ O lub 03 7^ 0.

Definicja 2.6.3. Układem m równań liniowych z n niewiadomymi #i,... ,x_n nazywamy równanie macierzowe postaci

AX = 5,

Xi

gdzie A 6 M_mn, S € Mml, zaś X =

x_n

Macierz A nazywamy macierzą współczynników, macierz 5 — macierzą wyrazów wolnych, a macierz [^4|S] € M_{m n+}i — macierzą uzupełnioną tego układu.

Twierdzenie 2.6.4. (Kroneckera—Capellego) Układ równań liniowych AX = B, gdzie A € M_mn, posiada rozwiązanie rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r [A|B] = rA

Wniosek 2.6.5. Układ równań liniowych jest równoważny układowi, którego macierz uzupełniona powstaje z macierzy uzupełnionej danego układu przez usunięcie z niej wierszy zależnych od innych wierszy.

Twierdzenie 2.6.6. (Cramera) Układ równań liniowych AX = B on równaniach i n niewiadomych taki, że det A ^ O posiada dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem

det A_k det A

Xk

k = 1,... ,n,

gdzie A_k, k = 1,,n, oznacza macierz powstałą z A przez zastąpienie k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych B.

Wniosek 2.6.7. Załóżmy, że układ równań liniowych AX = B, gdzie A € M_mn, spełnia warunek r [A\B] = r A = r. Wówczas zbiór wszystkich rozwiązań tego układu można uzależnić od dokładnie n — r parametrów i mogą być nimi niektóre z niewiadomych.

2.7    Iloczyn skalarny

2.8    Iloczyn wektorowy

2.9    Izometrie

3 Przestrzenie i przekształcenia liniowe

3.1 Przestrzenie liniowe

Definicja 3.1.1. Przestrzenią liniową (rzeczywistą) nazywamy niepusty zbiór

9