720154745

2.1. Pojęcie ideału i operacje na ideałach 11

Dowód.

(1)    Wynika wprost z definicji tych zbiorów - sprawdzamy ’na palcach’.

(2)    IJ CI CI+ J oraz IJCJCI + J, zatem IJClr\JCI + J.

(3)    Jeśli a,b £ I oraz c £ P, to istnieją takie Ii,h € I, że o € Ii oraz b £ h- Niech na

przykład I\ C I₂. Wtedy a — b £ I₂C I oraz ac £ R C I i ca £ I_} C I.    □

Pierścień ilorazowy

Jeśli I jest ideałem pierścienia P, to wówczas (/, +) jest podgrupą grupy abelowej (P, +), czyli podgrupa normalną. Możemy wobec tego rozważać grupę ilorazową (P/7,+) z działaniem: (a -f I) + (b + I) = (a + b) + I. Przypomnijmy, że w notacji addytywnej elementy P/I mają postać a +1, gdzie a £ P oraz

a +1 — b + 7 v- >• a — b £ I, a Ą~ I — I — 0p/i •! - V a £ I.

Możemy jednak na tym zbiorze wprowadzić też mnożenie: (a + I) ■ (b + I) := (ab) + I gdzie mnożenie ab to działanie mnożenia w P. By to działanie jednak miało sens musimy sprawdzić, że nie zależy ono od wyboru reprezentantów co zrobimy w poniższej własności.

Własność 2.1.6 (poprawność ilorazowego). Niech I będzie ideałem pierścienia R.

(1)    Działania wprowadzone wyżej są poprawnie okreśłone.

(2)    Zbiór R/I z działaniami (a + I) + (b + I) — (a + b) +1 oraz (a + I)(b + I) — ab + / dła a,b £ R tworzy strukturę pierścienia.

(3) Odwzorowanie ir: R3 a*—> a + / € R/I jest epimorfizmem pierścieni.

Dowód.

(1)    Niech a, b, a', b' £ P spełniają o + I = a! + I oraz b + I = b' + /, to a — a' £ I oraz b — b' £ /, zatem ab — a'b' — a(b — b') + (a — a')b' £ I co oznacza, że ab + I — a'b' + / czyli (a +1) (b +1) = (a' +1) (b¹ +1), co oznacza że istotnie jest to poprawnie określone działanie.

(2)    Wynika wprost z własności działań w P (ćw).

(3)    Wynika wprost z definicji działań w P/I oraz definicji odwzorowania 7r (ćw.)    □

Definicja 2.1.7 (pierścień ilorazowy). Jeśli I jest ideałem w pierścieniu P, to zbiór P/I z działaniami

(a + /) + (6 +1) := (a + b) + I, (a + I)(b+1) := ab+ /, a,b £ P nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia P względem ideału I.