Definicje
df(x) f(x0+"x)-f(x0)
Pochodna w punkcie: f (x0) = |x=x0 = lim
dx "x
"x0
Różniczka: df(x) = f (x)dx


Całka nieoznaczona: f(x)dx = F (x) + C, gdzie F (x) = f(x), C = const
b
Całka oznaczona: f(x)dx = F (b) - F (a)
a
(x-a)2 (x-a)n
x-a
Szereg Taylora: f(x) = f(a) + f (a) + f (a) + . . . + f(n)(a) + . . .
1! 2! n!
Własności pochodnych Funkcja Pochodna Funkcja Pochodna
1
"
(af) = af xn nxn-1 arc sin x
1-x2
1
"
(f + g) = f + g ex ex arc cos x -
1-x2
1
(fg) = f g + fg ax ax ln a arc tg x
1+x2
1 1
(fgh) = f gh + fg h + fgh ln x arc ctg x -
x 1+x2

f f g-fg
= sin x cos x sinh x cosh x
g g2
df(g(x)) df dg
= cos x - sin x cosh x sinh x
dx dg dx
1 1
tg x tgh x
cos2 x
cosh2 x
1 1
f, g, h - funkcje zmiennej x, a - stała ctg x - ctgh x -
sin2 x sinh2 x
Własności całek Całki (z dokładnością do stałej)

xn+1
af(x) = a f(x)dx xndx = , n = -1 exdx = ex

n+1

dx ax
(f + g)dx = fdx + gdx = ln |x| axdx =
x ln a

sin xdx = - cos x sinh xdx = cosh x

Podstawianie: cos xdx = sin x cosh xdx = sinh x

u = g(x), du = g (x)dx tg xdx = - ln | cos x| tgh xdx = ln cosh x

f g(x) g (x)dx = f(u)du ctg xdx = ln | sin x| ctgh xdx = ln | sinh x|

dx dx
= tg x = tgh x
cos2 x
cosh2 x

dx dx
Przez części: = - ctg x = - ctgh x
sin2 x sinh2 x

dx 1 x dx x
"
fdg = fg - gdf = arc tg = arc sin , a > |x|
a2+x2 a a a
a2-x2

dx 1 x dx x
"
= ar tgh , |x| < a = ar sinh
a2-x2 a a a
a2+x2

f (x)
dx x dx x
"
dx = ln |f(x)| + C = -1 ar ctgh , |x| > a = ar cosh
f(x) x2-a2 a a a
x2-a2
Funkcje trygonometryczne Funkcje hiperboliczne Wektory
ex-e-x
sin2 x + cos2 x = 1 sinh x = Iloczyn skalarny
2
ex+e-x
sin 2x = 2 sin x cos x cosh x = " = axbx + ayby + azbz
a b
2
"
cos 2x = cos2 x - sin2 x ar sinh x = ln(x + x2 + 1) " = | b| cos ( b)
a b a|| a,
"
2 tg x
tg 2x = ar cosh x = Ä… ln(x + x2 - 1) Iloczyn wektorowy
1-tg2 x

x 1-cos x
sin = cosh2 x - sinh2 x = 1 × = [aybz - azby, azbx - axbz, axby - aybx]
a b
2 2

x 1+cos x
cos = | × = | b| sin ( b)
a b| a|| a,
2 2