ż 25. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej 145

c1 = +". PrzyjmujÄ…c z = a, f(a) , zn = xn, f(xn) mamy wtedy zn z
zn - z (1/Õ(xn), 1)
= (0, 1),
||zn - z|| ||(1/Õ(xn), 1)||
a więc (0,1) jest wektorem stycznym do wykresu funkcji f w punkcie (a, f(a)),
co nie jest możliwe, bo t(1, c) = (0, 1) dla t "r. Zatem c1 = +". Podobnie

c1 = -". Załóżmy wobec tego, że c1 "R. W tym przypadku

zn - z (1, Õ(xn)) 1, c1)
= ,
||zn - z|| ||(1, Õ(xn))|| ||(1, c1)||
co dowodzi, że (1, c1) jest wektorem stycznym do wykresu funkcji f w punkcie

a, f(a) . StÄ…d (1, c1) = t(1, c), t " R, wiÄ™c c1 = c, tzn. lim Õ(xn) = c, wbrew
n"
złożeniu (7).
W ten sposób dowiedliÅ›my, że lim Õ(x) = c. Podobnie dowodzi siÄ™, że
xa+
lim Õ(x) = c. Zatem istnieje f (a) = c.
xa-
Zauważmy, że w twierdzeniu tym trzeba założyć ciagłość funkcji f w punkcie
a, gdyż nie wynika ona z założonego istnienia stycznej postaci (6).
Na przykład funkcja

1
1 dla x = , n = 1, 2, . . . ,
n
f(x) =
0 dla pozostałych x " R
jest nieciągła w punkcie x = 0, a jej wykres ma styczną w punkcie (0, f(0)) = (0, 0) -jest nią
prosta o równaniu y = 0.
Twierdzenie 2 można bez trudu uogólnić na przypadek, gdy Y= Rk. Pozo-
staje również prawdziwe dla każdej przestrzeni Banacha Y o wymiarze dim Y <
+". Przestaje obowiązywać, gdy dim Y = +" (zob. ćwicz. 2).
Rysunek 8 ilustruje pojęcie prostej stycznej do wykresu funkcji w przypadku Y=R, rysu-
nek 9- w przypadku Y=R2 (por. tw. 9).
10 Analiza matematyczna
146 III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego
3. Podstawowe reguły różniczkowania. W sformułowanych niżej twier-
dzeniach D i E sÄ… podzbiorami przestrzeni liczb rzeczywistych R, litery Y, Yi, Z
oznaczają pewne przestrzenie unormowane nad ciałem skalarów K.
TWIERDZENIE 3.Jeżeli funkcje f, g: D Y są różniczkowalne w punkcie a
" D, to funkcje f + g i f - g też są różniczkowalne w punkcie a oraz

(f + g) (a) = f (a) + g (a), (f - g) (a) = f (a) - g (a).
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne, to funkcjef + gi f - g też są różnicz-
kowalne oraz

(f + g) = f + g , (f - g) = f - g .
D o w ó d. Ponieważ
+ +
+
(f-g)(x) - (f - g)(a) f(x) - f(a) g(x) - g(a)
= - ,
(x - a) (x - a) x - a
więc pierwsza część twierdzenia wynika z twierdzenia o granicy sumy i różnicy.
Druga część twierdzenia jest wnioskiem z części pierwszej.
TWIERDZENIE 4.Jeżeli funkcja f: D K i g: D Y są różniczkowalne w
punkcie a " D, to funkcja fg też jest różniczkowalna w punkcie a oraz
(fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a).
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne, to funkcja fg jest też różniczkowalna
(fg) = f g + fg .
D o w ó d. Pierwsza część twierdzenia jest wnioskiem z równości
(fg)(x) - (fg)(a) f(x) - f(a) g(x) - g(a)
= g(x) + f(a)
x - a x - a x - a
oraz z ciągłości funkcji g w punkcie a, która jest konsekwencja jej różniczkowal-
ności w tym punkcie,
Druga część twierdzenia wynika z pierwszej.
Z twierdzenia 4, uwzględniając, że funkcja stała ma pochodną równą zeru
otrzymujemy natychmiast
TWIERDZENIE 5 . Jez
eli funkcja f: D Y jest różniczkowalna w punkcie
a " D, to dla każdej  " K funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a oraz
(f) (a) = f (a).
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna to funkcja f też jest różniczkowalna
(f) = f .
ż 25. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej 147
TWIERDZENIE 6. Jeżeli funkcje f: D Y i g: D K są różniczkowalne w
punkcie a " D i g(x) = 0 dla każdego x " D, to funkcja f/g jest różniczkowalna

w punkcie a oraz
f f (a)g(a) - f(a)g (a)
( ) (a) = .
g (g(a))2
Jeżeli funkcje f i g różniczkowalne, to funkcja f/g też jest różniczkowalna
f f g - fg
( ) = .
g g2
D o w ó d. Ponieważ
(1/g)(x) - (1/g)(a) g(x) - g(a) 1
= - · ,
x - a x - a g(x)g(a)
więc uwzględniąjąc ciągłość funkcji g w punkcie a otrzymujemy
1 g (a)
(9) ( ) (a) = - .
g (g(a))2
Wzór (8) wynika z (9) i twierdzenia 4, bo f/g jest iloczynem 1/g przez f.
Druga część twierdzenia jest wnioskiem z części pierwszej.
TWIERDZENIE 7.Jeżeli f: D Y jest różniczkowalna w punkcie a " D, to
dla każdej funkcji Õ " L(Y ; Z) funkcja Õ ć% f jest różniczkowalna w punkcie a
(Õ ć% f) (a) = Õ(f (a)).
Jeżeli f jest funkcjÄ… różniczkowalnÄ…, to Õ ć% f jest funkcjÄ… różniczkowalnÄ…
oraz
(Õ ć% f) = Õ ć% f .
D o w ó d. Wystarczy dowieść pierwszej części twierdzenia. Jest ona wnio-
skiem z równości
(Õ ć% f)(x) - (Õ ć% f)(z) f(x) - f(a)
= Õ( )
x - a x - a
i z ciagÅ‚oÅ›ci funkcji Õ.
TWIERDZENIE 8. Jeżeli f: D E jest funkcja różniczkowalna w punkcie
a " D oraz g: E Y jest funkcja różniczkowalna w punkcie b = f(a), to g ć% f
jest funkcja różniczkowalna w punkcie a oraz
(10) (g ć% f) (a) = g (b)f (a).
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne, to g ć% f jest funkcja różniczkowalna
148 III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego
(g ć% f) = (g ć% f)f .
D o w ó d. Niech

g(y)-g(b)
dla y " E \ {b}
y-b
µ(y) =
0 dla y = b.
Wtedy
g(y) - g(b) = g (b)(y - b) + µ(y)(y - b).
Podtawiając y = f(x) i uwzględniając, że b = f(a), dostajemy
(g ć% f)(x) - (g ć% f)(a) f(x) - f(a) f(x) - f(a)
(11) = g (b) + µ(f(x)) .
x - a x - a x - a
Funkcja µ jest ciÄ…gÅ‚a w punkcie b = f(a), a funkcja f ciÄ…gÅ‚a w punkcie a,
wiÄ™c lim µ(f(x)) = µ(b) = 0 wobec tego z równoÅ›ci (11) w granicy dla x a
xa
dostajemy (10).
Druga część twierdzenia jest wnioskiem z części pierwszej.
TWIERDZENIE 9. Funkcje F : D Y1 × . . . × Yk, F = (f1, . . . , fk), jest róż-
niczkowalna w punkcie a " D wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej współrzędne
f1, . . . , fk są różniczkowalne w punkcie a. Przy tym


F (a) = f1(a), . . . , fk(a) .
Funkcja F jest różniczkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy są różniczkowalne
wszystkie jej współrzędne i wówczas

F = (f1, . . . , fk).
D o w ó d. Wystarczy zauważyć, że

F (x) - F (a) f1(x) - f1(a) fk(x) - fk(a)
= , . . . ,
x - a x - a x - a
i powołać się na twierdzenie 4 z ż 9.
ćwiczenia
1. Niech f: (-1; 1) l (zob. ż 23, ćwicz. 3) będzie funkcją określoną nastepujaco:
f(x) = (x, x2, . . . , xl, . . .),
Zbadać różniczkowalność funkcji f w punkcie x = 0.
2. Rozważmy funkcje f: R l określoną następująco:

1 1
en dla x = , n = 1, 2, . . . ,
n n
f(x) =
0 dla pozostałych x " R
ż 25. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej 149
oznaczenia takie jak w ćwicz. 3 z ż 23). Dowieść, że funkcja f jest ciagła w punkcie
x = 0, nie jest różniczkowalna w tym punkcie i że styczna do wykresu funkcji f w
punkcie (0, f(0)) jest prostą o równaniu y = 0.
3. Niech fi: D Yi (i = 1, 2, . . . , k), Õ " L(Y1, . . . , Yk; Z) (D ‚" R , Y1, . . . , Yk, Z
-przestrzeniu unormowane). Dowieść, że jeżeli funkcje f1, . . . , fk są różniczkowalne w
punkcie a, to funkcja È: D Z gdzie
È(x) = Õ(f1(x), . . . , fk(x)),
jest różniczkowalna w punkcie a i
k


È (a) = Õ(f1(a), . . . , fi-1(a), f1(a), fi+1(a), . . . , fk(a)).
i=1
4. Niech D ‚" R, fij: D Rk (i = 1, 2, . . . , k) - funkcje roz
niczkowalne w punkcie
a i È: D R gdzie
È(x) = det[fij(x)].
Wyznaczyć È (a).
Wskazówka. Zob. poprzednie ćwiczenie.
Odpowiedz. 1 f. (0) = (1, 0, 0, . . .).
150 III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego
ż 26. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach
rzeczywistych.
1. Przykłady. 1. Dla każdego x i dowolnego naturalnego k
(xk) = kxk-1 (xk) 1
(dla k = 1, x = 0 umawiamy sie, że 00 = 1).
Dowodzimy tego za pomocą indukcji. Dla k = 1 prawdziwość wzoru, który w
tym przypadku przyjmuje postać (x) = 1, wynika wprost z definicji. Zakładając
jego słuszność dle pewnego k z równości xk+1 = xkx wnosimy, że (xk+1) =
(xk) x + xk(x) = kxk-1x + xk = (k + 1)xk.
2. Dla x = 0 i dowolnego naturalnego k

1 1
( ) = -k .
xk xk+1
Na mocy wzoru z poprzedniego przykładu i wzoru (9) z ż 25
1 (xk) kxk-1 1
( ) = - = - = -k .
xk (xk)2 x2k xk+1
3. Jeżeli a > 0, a = 0, to dla każdego x > 0

1 1
(1) (loga x) = , w szczególności (log x) = .
x loga x
Niech xn > 0, xn = x (n = 1, 2, . . .) i xn x. Mamy

loga xn - loga x 1 log(1 - yn)
(2) = · ,
xn - x x log a yn
1
gdzie yn = (xn - x) (n = 1, 2, . . .). Ponieważ yn > -1 i yn 0, więc
x
log(1 + yn)
1
yn
(zob. ż 18, wzór (6)) i w takim razie z (2) wynika, z
e
loga xn - loga x 1
,
xn - x x log a
co dowodzi wzoru (1).
Uogólnieniem drugiego ze wzorów (1) jest
1
(log |x|) = dla x = 0

x
1
oznacza pochodną funkcji x xk w punkcie x symbol f (x) został zastapiony znacznie
wygodniejszym- chociaż niezbyt poprawnym- oznaczeniem (f(x)) . Tak samo postępujemy w
dalszych przykładach.
ż 26. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych 151
4. Jeżeli a > 0 , to dla każdego x
(3) (ax) = ax log a, w szczególności (ex) = ex.
n-x
Niech xn = x (n = 1, 2, . . .), xn x. Przyjmijmy yn = ax - 1. Wtedy

n
ax - ax yn
(4) = ax log a
xn - x log(1 + yn)
dla n = 1, 2, . . . . Ponieważ yn > -1 i yn 0, więc tak samo jak w poprzed-
nim przykładzie z (4) wnosimy, że
n
ax - ax
ax log a.
xn - x
5. Dla dowolnego ą i każdego x > 0
(xÄ…) = Ä…xÄ…-1.
Ponieważ
xÄ… = eÄ… log x.
więc na mocy wzorów z przykładów 3 i 4 oraz twierdzenia 8 z ż 25 o różniczko-
waniu złożenia
Ä…
(xÄ…) = eÄ… log x(Ä… log x) = eÄ… log x = Ä…xÄ…-1.
x
6. Dla każdego x
(sin x) = cos x, (cos x) = - sin x.
Niech xnŹx (n = 1, 2, . . .), xn x. Mamy
sin xn - sin x sin yn
= cos(x + yn),
xn - x yn
cos xn - cos x sin yn
= - sin(x + yn),
xn - x yn
sin yn
1
gdzie yn = (xn-x) 0. Ponieważ 1 (zob. ż 9, przykład 3) i cos(x+
2 yn
yn) cos x, sin(x + yn) sin x wobec ciagłości funkcji trygonometrycznych,
wiec
sin xn - sin x
cos x
xn - x
cos xn - cos x
- sin x
xn - x
7. Wyprowadzimy teraz wzory
152 III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego
+
1 1
(tg x) = dlax = Ą + kĄ (k = 0, - 1, . . .),

cos2 x 2
+
1
(ctgh x) = dlax = kĄ (k = 0, - 1, . . .),

sin2 x
Na mocy twierdzenia 6 z ż 25 o różniczkowaniu ilorazu i wzorów z poprzed-
niego przykładu
sin x (sin x) cos x - sin x(cos x) cos2 x + sin2 x 1
(tg x) = ( ) = = = .
cos x cos2 x cos2 x cos2 x
Podobnie wyprowadza się drugi wzór.
Zanim przejdziemy do następnych przykładów, udowodnimy następujące
TWIERDZENIE 1. Jeżeli f: (a; b) R jest funkcją ciągłą i ściśle monotonicz-
ną, różniczkowalną w punkcie x " (a; b) i f (x) = 0, to funkcja odwrotna f-1

jest różniczkowalna w punkcie y = f(x) oraz
1
(f-1) (y) = .
f (x)
D o w ó d. Zbiór wartości funkcji f, będący dziedziną funkcji f-1 (n = 1, 2, . . .).
Dla dowolnego ciągu (yn) punktów tego przedziału, gdzie yn = y (n = 1, 2, . . .)

i yn y, mamy
f-1(yn) - f-1(y) xn - x
(5) = ,
yn - y f(xn) - f(x)
gdzie xn = f-1(yn) (n = 1, 2, . . .). Ponieważ funkcja f-1 jest ciągła (zob, ż18,
tw. 5), więc xn f-1(y) = x. Stąd i z (5)
f-1(yn) - f-1(y) 1

yn - y f (x)
Następne przykłady ilustrują to twierdzenie.
8. Dla każdego x " (-1, 1)
1 1
(arc sin x) = " , (arc cos x) = - " .
1 - x2 1 - x2
Dla dowodu wez
miemy jako f w twierdzeniu 1 funkcje x sin x zreduko-
1 1
waną do przedziału (- Ą; Ą). Otrzymujemy
2 2
1 1 1 1
(arc sin y) = = = = .
(sin x) cos x
1
1 - sin2 x - y2
Drugi wzór wyprowadza się zupełnie podobnie.
9. Dla każdego x
ż 26. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych 153
1
(arc tg x) =
1 + x2
Z twierdzenia 1, biorąc za f funkcje x tg x zredukowaną do przedziału
1 1
(- Ą; Ą) , wnosimy, że
2 2
1 1 1
(arc tg y) = = cos2 x = =
(tg x) 1 + tg2 x 1 + y2
otrzymując pierwszy wzór. Wyprowadzenie drugiego jest podobne.
2. Pochodna nieskończona. W przypadku funkcji o wartościach rzeczy-
wistych pojęcie pochodnej można rozszerzyć, przyjmując
f(x) - f(a)
f (a) = lim
na - a
x
zawsze, gdy istnieje granica po prawej stronie w konsekwencji może być
f (a) = +" oraz f (a) = -". Nie będziemy jednak rozszerzać pojęcia różnicz-
kowalności funkcji, tzn. za różniczkowalna w punkcie a bedziemy uważać funkcje
f wtedy, gdy f (a) jest liczbą skończoną.
Można łatwo udowodnić
TWIERDZENIE 2. Jeżeli funkcja f: D R jest ciągła w punkcie a " IntD,
to istnienie niskończonej pochodnej f (a) jest równoważna temu, że prosta o
równaniu x = a jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (a, f(a)).
"
3
Niech na przykład f(x) = x, x " R. Mamy
"
3
x 1
f (0) = lim = lim " = +".
3
n0 x n0
x2
Styczną do wykresu funkcji f w punkcie (0, f(0)) = (0, 0) jest prosta o równaniu x = 0.
3. Twierdzenie Rolle a, Lagrange a i Cauchy ego. Udowodnimy naj-
pierw następujący
LEMAT (Fermata). Jeżeli D‚" R, f: D R, ¾ " IntD i f(x) f(¾) (albo
f(x) f(¾)) dla każdego x " D, to z istnienia pochodnej funkcji f w punkcie ¾
wynika, że f (¾) = 0 .
Dowód. Istnieje ´ > 0 takie, że ¾-´, ¾+´ ‚" D. Niech xn = ¾+´(-1)n/n (n =
1, 2, . . .).
Ponieważ xn = ¾ i xn ¾, wiÄ™c

f(xn) - f(¾)
lim = f (¾).
n" - ¾
xn
Jeżeli f(x) f(¾) dla każdego x " D, to
f(x2k) - f(¾) f(x2k-1) - f(¾)
0
x2k - ¾ x2k-1 - ¾
154 III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego
(k = 1, 2, . . .) i w granicy dla k " otrzymujemy f (¾) 0 f (¾). StÄ…d
f (¾) = 0.
Podobnie rozumie siÄ™, gdy f(x) f(¾) dla każdego x "D.
TWIERDZENIE 3. (Rolle a). Jeżeli f: a; b R jest funkcją ciągła mającą
pochodną w każdym punkcie przedziału (a; b) i f(a) = f(b), to istnieje punkt
¾ " (a; b) taki,że f (¾) = 0.
D o w ó d. Ponieważ przedział a; b jest zbiorem zwartym, więc z twierdzenia
Weierstrassa (ż17, tw. 8) wynika istnienie takich punktów x1, x2 " a; b , że
f(x1) f(x) f(x2)
dla każdego x " a; b ,
Jeżeli f(x1) = f(x2) , to funkcja jest stała, więc f (x) = 0 dla każdego
x " a; b .
Jeżeli f(x1) < f(x2), to z równości f(a) = f(b) wynika, że przynajmniej je-
den z punktów x1 i x2 jest punktem wewnętrznym przedziału a; b . Oznaczając
go przez ¾ wnosimy z lematu Fermata, że f (¾) = 0.
TWIERDZENIE 4.(Lagrange a o przyrostach). Jeżeli f: a; b R jest funkcją
ciągła mającą pochodną w każdym punkcie przedziału (a; b), to istnieje punkt
¾ " (a; b) taki, że
f(b) - f(a)
(6) = f (¾).
b - a
D o w ó d. Niech
f(b) - f(a)
Õ(x) = f(x) - f(b) - (x - a).
b - a
Funkcja Õ speÅ‚nia zaÅ‚ożenia twierdzenia Rolle a, bo Õ(a) = 0 = Õ(b) i
f(b) - f(a)
Õ (x) = f (x) - dla x " (a; b).
b - a
Równość Õ (¾) = 0 daje (6).
Twierdzenie Lagrange a wypowiada się również w sformułowaniu nieco ogól-
niejszym:
Jeżeli I ‚"R jest przedziaÅ‚em, f: I R jest funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä…, majÄ…cÄ… pochodnÄ…
w dowolnym punkcie zbioru Int I \{a}, gdzie a "I, to dla każdego x "I istnieje
liczba ¸ taka, że
0 < ¸ < 1 i f(x) = f(a) + f (a + ¸(x - a))(x - a).
TWIERDZENIE 5. Niech I ‚" R bedzie przedziaÅ‚em. Jeżeli funkcja ciÄ…gÅ‚a f: I R
ma pochodną w każdym punkcie x " Int I i f (x) > 0, to f jest funkcją rosnącą.
Analogicznie, jeżeli dla każdego x " Int I jest f (x) < 0, to f jest funkcja
malejÄ…ca.
ż 26. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych 155
D o w ó d. Załóżmy, że pochodna jest dodatnia. Niech x1 < x2. Na mocy
twierdzenia Lagrange a
f(x2) - f(x1) = f (¾)(x2 - x1) > 0,
tj. f(x2) > f(x1),
Tak samo rozumie siÄ™, gdy pochodna jest ujemna.
TWIERDZENIE 6. ( Cauchy ego o przyrostach). Niech f, g: a; b R bÄ™-
dą funkcjami ciągłymi. Jeżeli obie funkcje fig są różniczkowalne na (a; b) i
g (x) = 0 dla każdego x " (a; b), to istnieje punkt ¾ " (a; b) taki, że

f(b) - f(a) f (¾)
(7) = .
g(b) - g(a) g (¾)
D o w ó d. g(b) = g(a) na mocy twierdzenia Rolle a. Przyjmując

f(b) - f(a)
Õ(x) = f(x) - f(a) - (g(x) - g(a))
g(b) - g(a)
okreÅ›lamy na przedziale a; b funkcje Õ, która speÅ‚nia zaÅ‚ożenia twierdzenia
Rolle a, bo Õ(a) = 0 = Õ(b) oraz
f(b) - f(a)
Õ (x) = f (x) - g (x).
g(b) - g(a)
Równość Õ (¾) = 0 daje (7).
Dla funkcji g(x) = x wzór (7) sprowadza się do wzoru (6) z twierdzenia
Lagrange a.
Twierdzenie Cauchy ego formułuje się również ogólniej, jak następuje: Jeżeli
I ‚" R jest przedziaÅ‚em, funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… f, g: I R sa różniczkowalne w zbiorze
Int I \{a}, gdzie a " I , przy czym pochodna funkcji g nigdzie nie jest równa
zeru, to dla każdego x " I \{a} istnieje liczba ¸ taka, że
f(x) - f(a) f (a + ¸(x - a)
0 < ¸ < 1 i = .
g(x) - g(a) g (a + ¸(x - a)
4. Reguły de L Hospitala
TWIERDZENIE 7. Niech D = (a; b)\{x0}, gdzie x0 jest punktem skupienia
przedziału (a; b) i niech f, g: D R będą funkcjami różniczkowalnymi. Jeżeli
g (x) = 0 dla x " D oraz

lim f(x) = lim g(x) = 0, +"lub - "
xx0 xx0
to z istnienia granicy
f (x)
(8) lim = c
xx0
g (x)
156 III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego
wynika istnienie granicy
f(x)
lim = c.
xx0
g(x)
D o w ó d. W pierwszym przypadku, gdy lim f(x) = 0 = lim g(x), dowód
xx0 xx0
nie przedstawia trudności. Przyjmujemy f(x0) = g(x0) = 0, rozszerzając w ten
sposób funkcje f i g na przedział D *"{x0}. Dla dowolnego ciągu (xn) punktów
zbioru D mamy na mocy twierdzenia Cauchy ego.
f(xn) f (¾n)
(9) = ,
g(xn) g (¾n)
gdzie ¾n = x0 + ¸n(xn - x0), 0 < ¸n < 1 i w konsekwencji |¾n - x0| < |xn - x0|
dla n = 1, 2, . . . StÄ…d wynika, że jeżeli xn x0, to ¾n x0 i wobec zaÅ‚ożenia
(8) prawa strona równości (9) - a zatem i lewa strona - jest ciągiem zbieżnym
do granicy c. Dowodzi to tezy twierdzenia.
Przejdz
my do drugiego przypadku. Niech lim g(x) = +" i
xx0
f (x)
(10) lim = 0.
xx0
g (x)
Udowodnimy, że jeżeli x0 > a, to
f(x)
(11) lim = 0.
g(x)
xx-
0
Dla drugiej liczby µ > 0 z naszych zaÅ‚ożeÅ„ wynika istnienie takiej liczby
x " (a, x0), że
Å»
f (x) 1
(12) g(x) > 0 i | | < µ dla x < x < x0
Å»
g (x) 2
Niech teraz a < xn < x0 (n = 1, 2, . . .) i xn x0. Istnieje N1 takie, że
xn > x dla n > N1. Mamy
Å»
f(xn) f(x) f(xn) - f(x) g(x)
Å» Å» Å»
(13) = + (1 - ).
g(xn) g(xn) g(xn) - g(x) g(xn)
Å»
Na mocy twierdzenia Cauchy ego
f(xn) - f(x) f (¾n)
Å»
= ,
g(xn) - g(x) g (¾n)
Å»
gdzie (dla n > N1) x < ¾n < x0, wiec z (12) wnosimy, że
Å»
ż 26. Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych 157
f(xn) - f(x) 1
Å»
| | < µ.
g(xn) - g(x) 2
Å»
W takim razie z (13) dostajemy
f(xn) f(x) 1 g(x)
Å» Å»
| | | | + µ|1 - |
g(xn) g(xn) 2 g(xn)
1
dla n > N1. Ponieważ prawa strona jest ciÄ…giem zbieżnym do µ, wiÄ™c ostatecz-
2
nie stwierdzamy, że istnieje N takie, że dla n > N jest |f(xn)/g(xn)| < µ. W
ten sposób dowiedliśmy (11).
Podobnie dowodzi się, że jeżeli x0 < b, to lim (f(x)/g(x)) = 0.
xx+
0
A więc w przypadku gdy lim g(x) = +" (założenie, że lim f(x) = +",
xx0 xx0
nie było do tej pory wykorzystywane), teza twierdzenia jest prawdziwa dla c = 0.
Stąd wynika jej prawdziwość dla dowolnego c " R, bo
f(x) f1(x)
= c + , gdzie f1(x) = f(x) - cg(x)
g(x) g(x)
oraz

f1(x) f (x)
lim = lim ( - c) = 0.
xx0 xx0
g (x) g (x)
Jeżeli c = +", to f (x) = 0 dla x dostatecznie bliskich x0 oraz lim (g (x)/f (x)) =

xx0
0, wiec założenie lim f(x) = +" implikuje lim (g(x)/f(x)) = 0. Jeżeli przy
xx0 xx0
tym lim g(x) = +", to obie funkcje f i g sÄ… dodatnie blisko punktu x0 i wo-
xx0
bec tego lim (f(x)/g(x)) = +". Przypuszczenie, że c = -", jest sprzeczne z
xx0
pozostałymi założeniami.
Zastępując w udowodnionej już części twierdzenia f i g odpowiednio przez
-f i -g stwierdzamy, że jest ono prawdziwe także w ostatnim przypadku, gdy
wspólną wartością obu granic funkcji f i g w punkcie x0 jest -".
TWIERDZENIE 8. Niech f, g: (a : +") R będą funkcjami różniczkowal-
nymi.Jeżeli g (x) = 0 dla każdego x > a oraz lim f(x) = lim g(x) =

x+" x+"
0, +" lub - "
to z istnienia granicy
f (x)
lim = c
x+"
g (x)
wynika istnienie granicy
f(x)
lim = c.
x+"
g(x)
D o w ó d. Można założyć, że a > 0. Niech f1(t) = f(1/t), g1(t) = g(1/t) dla
t " (0, 1/a). Wtedy
158 III. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego
1 1 1 1

f1(t) = - f ( ) i g1(t) = - g ( ).
t2 t t2 t
Wobec tego na mocy poprzedniego twierdzenia

f(x) f1(t) f1(t) f (x)
lim = lim = lim = lim = c.

x+" t0 t0 x+"
g(x) g1(t) g1(t) g (x)
Twierdzenie 7 i 8 znane sa pod nazwą reguł de L Hospitala.
ćwiczenia
1. Niech an " R (n = 1, 2, . . .), an = am dla n = m. Przyjmijmy %

"

|x - an|
f(x) = .
2n(|an| + 1)
n=1
Wykazać, że f (x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy x = an dla n = 1, 2, . . .

Wskazówka. Zastosować twierdzenie 20 z ż23.
2.Dowieść, że funkcja różniczkowalna f: a; b R jest rosnąca wtedy i tylko wtedy,
gdy f (x) 0 dla wszystkich x " a; b i zbiór {x : f (x) > 0} jest gesty w a; b .