Uwaga: To twierdzenie podaje błąd interpolacji w każdym punkcie x G [a, &]. Zauważmy, że błąd zależy jedynie od własności funkcji aproksymowanej /, oraz od węzłów interpolacji (ui(x)).

Dowód

Niech

K(x) =

w(z)

gdy x^xj, j = 0,

gdy x = Xj, j = 0,1, • • •, n

oraz

F(t,x) = f(t) - Pn(t) - K[x)u(t).

Potraktujemy t jako zmienną, zaś x jako ustalony parametr. Zauważmy, że F(t,x) jest funkcją różniczkowalną n + 1 razy w sposób ciągły jako funkcja zmiennej t G [a, b]. Ponad to

F{x,x) ~ 0,

F(xj,x) = 0, j = 0,1. • • • ,n.

Jeśli x ^ Xj j = 0,1, • • •, n, to F(t,x) traktowana jako funkcja zmiennej t, zeruje się w n + 2 różnych punktach przedziału [a, b]

X,Xo,Xi, • • • ,x_n.

Stosując n + 1 razy twierdzenie Rolle’a do kolejnych pochodnych funkcji F względem t, widzimy że

• -§iF(t, x) znika w n punktach między kolejnymi węzłami x, X\, • ■ •, x_n, a więc n razy w różnych punktach przedziału otwartego (a, b),

• j^F(t,x) znika w n — 1 różnych punktach przedziału (a, b)

• F(t, x) znika przynajmniej w jednym punkcie przedziału (a, b). Oznaczmy ten punkt przez £(:r).