8416072482

Zdefiniujemy najpierw różnice dzielone dla funkcji /, określonej w węzłach £0, aą, X2, • • •, x_n. Symbolem

f[x0,X1, ■ ■ ■ ,x_k]

oznaczamy k-tą różnicę dzieloną funkcji f dla węzłów xo, Xi, Xi, • • •, Xk>

Różnice dzielone definiujemy rekurencyjnie:

•    f\^xj\ ⁼ f(^xj) “ zerowa różnica dzielona dla węzła Xj,

•    f[xo,Xi] =    " pierwsza różnica dzielona dla węzłów xo

i xi,

•    f[x₀,aą, • • •,®*+i] =    _ j_c__{ta r}óżnica dzielona

dla węzłów xq, X\ , • ■ •, Xk+1.

Twierdzenie 1.3

f[xo,Xl,Xl,---,Xl,] =

_/te)

31 te - *o)te - *1) • • ■ te - *3-1) te - *3+1) ■ ■ ■ te -    ’

Wniosek 1.3

lUar£osć różnicy dzielonej f[xo, x\, X2, • • •, Xk\ nie zależy od porządku argumentów Xq, X\ • • •, Xk- □

Zadanie 1.1

Udowodnić Twierdzenie 1.3. Można zastosować indukcję względem k. Twierdzenie 1.4

Wielomian interpolacyjny Lagrange’a dla funkcji f : [a, b] —> R. oraz węzłów ®₀, X\, X2, • • •, x_n da się zapisać w postaci Newtona:

Pn(x) = f[x0] + f[x₀,Xi](x -Xo) + f[xo,Xi,X₂](x - X₀)(x - ®i) +

(1.6) H----+ f[x o,Xi, ■■■ ,x_n](x — x₀)(x — Xi) ■ ■ ■ (x — x_n-i).

6