8416072615

gdzie L jest operatorem różniczkowym działającym na funkcję y w postaci:

£ = ^a»(^x)-^T + o„-i(^x)^ddx„^i + • •' +    + «o(*)( )■ (⁴)

Aby operator C był liniowy musi spełniać następujący warunek:

£[cij/i + c₂y₂] = Ci£[i/i] + c₂C[y₂}.    (5)

Rozpatrzmy jako przykład dwa równania:

dy

d²y

sdy

^a)    +⁸-^4a;r = ⁰’ b)    + exp(x²) = 0

da;²

a#

Operatory różniczkowe £ mają odpowiednio postać:

Jeżeli operator C z przykładu a) jest liniowy to powinien spełniać warunek (5):

-8.4xci(j/i)² + c₂

dyi V da: /

- 8.4 z c₂ (y₂)²

Sprawdźmy to:

£[cii/i + c₂y₂] =

d(cm + c₂y₂)

da;

+ 8.4 x (ciyi + c₂y₂)²

_ f rf(ciyi)y _[ frf(czy2)y _| r.djcm) d{c₂y₂)

\ dx )    \ dx J

dx dx

+8Ax(ciyi)² + 8.4(c2j/₂)² + 16.8Ąj/i c₂y₂

da:    da:

= c?£[j/i] + c\C\y₂} + 2^rf(c,^m)d(?!²⁾ + 16.8cij/ic₂y₂

^ Cl£fol] + c₂£[i/₂]

A zatem równanie z przykładu a) jest równaniem nieliniowym. Dla przykładu b) mamy:

_r, ,    , d²(ciyi + C2y₂)    . , . d(cij/i + c₂j/₂)

£[<*».+<**] =----sm(z)-^-

d²{cm) , d²(c₂t/₂)    . , ,d(cij/i) . , ,d(c₂j/₂)

-I--—--smla:)—---sinfa;)-

dx

dx²

dx²

dx

d²yi d²y₂ . , . dyi . . , dy₂ = ^{Cl + C2} d^ " ^Sm(x)ci d^ “ ^Sm(:c)c2 d^

= ci£[j/i] + c₂£[j/₂]

A zatem równanie z przykładu b) jest równaniem liniowym.

2

Równania różniczkowe zwyczajne. Lista zadań nr 1