9414912322

A ■ A° = A^D • A = detA • En (E_n - macierz jednostkowa stopnia n)

Definicja. Macierz kwadratowa B stopnia n jest macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A stopnia n, jeśli prawdziwe są równości:

AB =B-A = E„

Macierz odwrotną do macierzy A (jeśli istnieje) oznaczamy przez A^-1.

Tw. Macierz odwrotna do macierzy A istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierzą nieosobliwą. Wówczas:

Macierz odwrotna do macierzy A wyznaczona jest jednoznacznie.

Uwaga. Dla dowolnych macierzy nieosobliwych A i B prawdziwe są równości:

1.    (A-*)-^l = A

2.    (A • B)~^l = B~^l • A^-1 (A, B - macierze tego samego stopnia)

Przykład 2. Znaleźć macierz odwrotną do macierzy A, gdy

a) A =

, b) A =

1 1 1 1 2 3 4 5 5

Rozwiązanie.

a) Obliczamy wyznacznik macierzy A: | ^ ^ | = 6 — 4 = 2^0. Ponieważ detA ^ 0, więc istnieje

macierz odwrotna A^-1. Tworzymy macierz dopełnień [A_ij]_2i2, a następnie macierz dołączoną A^D. Ponieważ

3

-4

A_u = 3, A_i2 = -1, A₂₁ = -4 i A₂₂ = 2, więc [A#]₂,₂

Stąd

Zgodnie ze wzorem:

Sprawdzamy poprawność naszych obliczeń:

A-A"¹