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egalement cette propriete et satisfaisant a la condition suivante: si un nombre ordinal C jouit de la propriete consideree, on a C non-< |J< et, en outre, <C ou jj. = £.

<P (a). a < 4 Q [3 y] ę ((i)    [C,    ? (4). 4 < yj:

s3:*^(C<ił)s|ł<C.V«|ł = C-

II (axiome de l infini). 11 existe un nombre ordinal a satisfaisant aux conditions: (a) il existe un 4 tel que 4 <C a; (b) si 4 < 0, il existe un Y] teł que 4 < Y) < a.

[3    4] :•: • 4 < a : •: [4]:•. 4 < a . Z) :• [3 yj] : ę < Tj. Y] < a.

III    (axiome de puissance). Pour tout nombre ordinal a il existe un tel nombre ordinal z qu’aucune fonction / ne remplit simul-tanement les conditions: (a) si 4 < t:, on a /(4) < a; (b) si

/(£)=/(*))> on a c—n*

[3 -] — [/] :••[£]:£<* - 3 •/(£) < a :• 3 :• [34, rj : /(4) =

= /(^j) • — (C = vj).

IV    (axiome de la limite). Pour tout nombre ordinal a et toute fonction / il existe un nombre transfini X satisfaisant a la condition suivante: si 4<a et /(4) est un nombre ordinal, on a

/ (i) < 3U

[3 >*] [S, yj] :• 4 < a. yj </(4):3 • /(£) < X.

*

M. Tarski a montre de quelle maniere on peut definir, a 1’aide du signe    toutes les notions traitees

dans PArithmetique des nombres ordinaux, sans que Ton ait a faire usage des definitions par recurrence. Pour remplacer ces dernieres par des definitions ordinaires, M. Tarski s’est servi d’une methode dont 1’idee est due a Dedekind⁴). Cette me-thode avait ete developpee d’abord par M. Leśniewski —en ce qui concerne 1’induction mathematique ordinaire, et M. Tarski Pa rendue applicable au cas de Pinduction transfinie. Afin qu’on puisse se rendre compte en quoi consiste cette methode, nous donnons ici, a titre d’exemple, une definition de Pexpression

^ł) Was sind und was sollen die Żabien?, III Aufl. (1911), p. 33 40.