9742848386

Notatki do lekcji, klasa matematyczna - Mariusz Kawecki, IILO w Chełmie

XY. Odwrotnie, jeżeli na ramionach kątów w takiej samej odległości od wierzchołka odłożymy punkty i otrzymamy odcinki przystające to i kąty będą przystające.

Powyższe twierdzenie łączy w sobie dwie wypowiedzi. Jedna orzeka, że dla przystających kątów odpowiednie odcinki będą także przystające. Druga mówi rzecz odwrotną, jeżeli odpowiednie odcinki są przystające to również przystające są kąty. Jest to przykład częstej w matematyce sytuacji gdzie prawdziwe jest twierdzenie, iż z pewnych założeń wynika jakaś teza (twierdzenie prostym) oraz prawdziwe jest twierdzenie, w którym tezę zamieniono z założeniami (twierdzenie odwrotne).

Dowód. Część pierwszą twierdzenia „z przystawania kątów wynika przystawanie odcinków” wykażemy metodą nie wprost (łac. reductio ad absurdum - sprowadzenie do niedorzeczności). Ta metoda dowodzenia polega na przyjęciu tezy przeciwnej do dowodzonej i pokazaniu, że prowadzi to do sprzeczności z założeniami.

Przyjmijmy wiec tezę, że odcinki UW oraz XY nie są przystające (rys. środkowy). Ponieważ punkt Y leży na ramieniu KL kąta przystającego KLM ale nie w punkcie W’ (odcinki nie są przystające) odległość YL musi być inna niż WB, co jest sprzeczne z założeniem.

Część drugą twierdzenia „z równości odcinków wynika przystawanie kątów” również pokażemy metodą nie wprost. Przyjmijmy, że kąty nie są przystające (rys. prawy). Odłóżmy kąt ABC na kącie KLM, okazuje się, że koniec Y odcinka XY nie leży na ramieniu odłożonego kąta, przeczy to założeniu, że odcinki są równe i kończy dowód. □

Twierdzenie to daje prostą metodę (wykorzystującą tylko cyrkiel) badania czy dwa kąty są przystające. Zaznaczamy na ramionach kątów punkty w jednakowych odległościach i sprawdzamy czy punkty te wyznaczą jednakowe odcinki.

Określenie 15. Prostą, która przechodzi przez wierzchołek kąta i dzieli go na dwa kąty przystające nazywamy dwusieczną kąta. Jeżeli podzieliliśmy dwusieczną kąt półpełny, to każdy

z tak otrzymanych kątów nazywamy kątem prostym i oznaczamy ^.

Twierdzenie 5. Dwusieczna jest zbiorem punktów jednakowo odległych od ramion kąta.

Dowód. Ponieważ kąty po podziale są przystające, wobec czego wybierając jakikolwiek punkt na ramieniu CA (rys. poniżej) oraz jakikolwiek punkt na dwusiecznej możemy kąt CAS wraz z wybranymi punktami nałożyć na kąt BAS (ramię CA nałożymy na ramię BA, wspólne ramię k pozostanie niezmienione, wybrane punkty trafią na swoje odpowiedniki w kącie BAS). Widać, zatem, że odległość między wybranymi punktami jest identyczna jak odległość między ich odpowiednikami. Wobec czego długość odcinka wyznaczonego przez wybrane punkty zostanie zachowana, zachowana, więc będzie długość najkrótszego z takich odcinków tj. odległości między ramionami w danym, wybranym punkcie. □

15