1442680462

Projekt NUMPRESS, Zad. 2: Program NUMPRESS-Explicit: podstawy teoretyczne

Rysunek 3: Zależność siły tarcia od poślizgu: a) prawo Coulomba, b) regularyzowane prawo Coulomba.

lub, w innej postaci

Mr = F^ext - F^int + F^cont.    (63)

Równania (62) lub (63) są dyskretyzowanymi przestrzennie równaniami ruchu (lub równowagi dynamicznej) będącymi podstawowymi równaniami stosowanej w niniejszej pracy metody elementów skończonych. Składowe wektora sił kontaktowych muszą spełniać warunki kontaktowe dane równaniami (44), (46) i (48).

1.5 Regularyzacja ograniczeń kontaktowych

Rozwiązanie zagadnienia ruchu opisanego równaniem (63) z ograniczeniami kontaktowymi (44), (46) i (48) może być uzyskane za pomocą następujących metod [18, 34]:

•    nieoznaczonych mnożników (czynników) Lagrange’a,

•    metody funkcji kary,

•    rozszerzonej metody mnożników Lagrange’a (będącej kombnacją zwykłej metody mnożników Lagrange’a i metody funkcji kary).

W sformułowaniu przyjętym w projekcie Numpress stosuje się metodę funkcji kary. W sformułowaniach jawnych metody elementów skończonych jest to metoda najczęściej stosowana ze względu na łatwość jej implementacji w jawnym schemacie rozwiązania równań ruchu. W metodzie funkcji kary ograniczenia kontaktu są spełnione tylko w sposób przybliżony, dopuszcza się nieznaczne naruszenie więzów. Metoda funkcji kary jest również metodą regu-laryzacji warunków kontaktowych, gdyż usuwa niejednoznaczność zależności oddziaływania kontaktowego od wielkości geometrycznych.

Metoda funkcji kary dla kontaktu w kierunku normalnym sprowadza się do przyjęcia następującej zależności liniowej dla nacisku F_n

F_n = k_ng,    (64)

gdzie k_n jest parametrem kary. Warunek (44)₂ w dalszym ciągu obowiązuje, co oznacza, że zależność (64) jest określona tylko dla g < 0. W ten sposób naruszone zostaje ograniczenie kinematyczne dla kontaktu w kierunku normalnym (44)i. Ujemny odstęp g, który może wystąpić między kontaktującymi się ciałami, będzie nazwany penetracją. W interpretacji fizycznej metoda funkcji kary jest równoważna wstawieniu pomiędzy kontaktujące się ciała elementów sprężystych przeciwdziałających penetracji, parametr k_n jest sztywnością tych sprężyn.

Zastosowana regularyzacja ograniczeń kontaktowych (46)-(48) dla tarcia polega na dopuszczeniu poślizgu dla siły tarcia mniejszej od wartości granicznej. Może to być uzasadnione

14