1675609762

£usd(3M) = 99.00, Susd(6M) = 96.03, oraz Busd(9M) = 91.23,

* ceny polskich bonów skarbowych wynoszą odpowiednio

Bpln(3M) = 97.00, £_Pln(6M) = 92.15, oraz £_PLn(9M) = 84.78.

W obliczeniach, dla uproszczenia, przyjmij, że 3M — | roku, 6M — \ roku, oraz 9M — | roku.

Zadanie 3.

Załóżmy, że proces S(t), który opisuje ceny akcji niepłacącej dywidendy, spełnia w świecie wolnym od ryzyka równanie

di> = rSdt + aS&Wt-

Zakładamy, że r - stopa wolna od ryzyka, oraz a - zmienność akcji, są stałe.

(a)    Znajdź równanie, które w świecie wolnym od ryzyka spełnia proces S'-^a>(t) = (S(t))^a, gdzie a > 0.

(b)    Wyprowadź wzór na wycenę opcji europejskiej, której wypłata w chwili wygaśnięcia T wynosi

max(S<“>(T)-Jf“,0).

Przy wyprowadzaniu wzoru możesz wykorzystać znane Ci formuły Blacka-Scholesa na wycenę opcji europejskich.

Zadanie 4.

Rozpatrzmy binarne opcje europejskie cali: o funkcji wypłaty H(S(T) — K), put: o funkcji wypłaty H(K — S(T)),

gdzie K jest ceną wykonania, a H jest funkcją Heaviside’a (H(x) = 1 gdy x > 0, oraz H(x) = 0 gdy x < 0).

(a)    Wyprowadź tzw. parytet call-put dla opcji binarnych, czyli związek pomiędzy ceną opcji cali oraz ceną opcji put.

(b)    Przy założeniach identycznych jak przy dowodzie formuł Blacka-Scholesa na cenę waniliowych (tzn. prostych, klasycznych) opcji, wyprowadź wzór na cenę binarnej opcji europejskiej cali.

Przyjmij następujące oznaczenia: T - czas trwania opcji, r - stopa wolna od ryzyka, a -zmienność akcji. Wypisz dokładnie założenia przy których przeprowadzasz wyprowadzenie wzoru na cenę opcji. Wypisując wzór zastosuj notację analogiczną do przyjętej w standardowych formulach Blacka-Scholesa.