1864815046

Grafika Komputerowa i Wizualizacja Zadania i ćwiczenia

Jacek Cichoń

Politechnika Wrocławska, WPPT Wrocław *2014

1. Zadania teoretyczne

Zadanie 1

Niech f,g : IR —> IR” będą gładkimi krzywymi.

1.    Pokaż, że <f(t),g(t))' = (f(t),g(t)) + (f(t),g'(t)).

2.    Pokaż, że jeśli ||/(f)|| = const, to f(t)±f'(t) dla każdego t € R.

3. Załóżmy, że n = 3. Pokaż, że (f(t) x g(t))' = (f'(t) x g(t)) + (f(t) x g'(t)).

Zadanie 2

Znajdź taką parametryzację <j>(t) okręgu o równaniu (x — a)² + (y — b)² — R², że ||(/>'(i)|| = 1. Pokaż, że dla dowolnej gładkiej parametryzacji ip tego okręgu mamy (ip(t) — (a, b)^T, p'(t)) — 0.

Zadanie 3

Załóżmy, że F : R² —> IR² jest taką transformacją afiniczną płaszczyzny, że F(Pi) = P\, F^Pz) = P2 i F(Ps) — P3 dla pewnych trzech niewspółliniowych punktów. Pokaż, że F — Id^i.

Zadanie 4

Niech {Pi, P2, P3} oraz {Qi,Q2, ^3} będą dwoma zbiorami niewspółliniowych punktów IR². Pokaż, że istnieje dokładnie jedna transformacja afiniczna F : IR² —» IR² taka, że P(Pi) = Q1, F^Pz) = Q2 i

F(P₃) = Q₃.

Zadanie 5

Niech V = {Pi,..., P*,} będą puntami przestrzeni IRⁿ. Pokaż, że zbiór

k    k    k

(E^ts^pi-T.^ti ⁼ 1A/\<fi>⁰^

3=1    3=1    3=1

jest zbiorem wypukłym oraz domkniętym.

Zadanie 6

Niech f(t) = Ylk=o    ^— f)^3-fcPfe będzie krzywą Beziera z punktami kontrolnymi Po, Pi, P2, P3.

Pokaż, że /'(O) = Po Pi oraz /'(1) = P₂P₃

Zadanie 7

Zapisz w postaci

1