1935182599

10

SPIS TREŚCI

a stąd mamy

n

< \/X\ • ... ■ x,

Reasumując, dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n, dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a\,..., a_n mamy

n

<

Tutaj, pierwsze wyrażenie jest średnią harmoniczną, drugie średnią geometryczną a ostatnie stanowi średnią arytmetyczną liczb Oi,..., a_n.

Zadania: liczby naturalne i rzeczywiste

Stosując aksjomatykę Peano (omówioną na wykładzie), definiujemy dodawanie i mnożenie w sposób rekurencyjny:

Dl: (Vn G N) n + 0 = n,

D2: (Vm € N)(Vn G N) n + S(m) = S(n + m).

Ml: (Vn G N) n- 0 = 0,

M2: (Vm G N)(Vn G N) n ■ S(m) = (n • m) + n.

Zadanie 1 Proszę udowodnić następujące własności liczb naturalnych:

1.    (Vn G N \ {0})(3m G N) n = S{m),

2.    (Vn G N) n^S(n).

Zadanie 2 Proszę udowodnić następujące własności dodawania i mnożenia liczb naturalnych:

1.    (Vm,n,A:GN) (m + n) + k = m+(n + k).

Wsk. Rozważyć zbiór Z — {k G N : (Vm, n G N) (m + n) + k = m + (n + fc)}.

2.    (Vn G N) S(0)-n = n,

3.    (Vm, n, k G N) (m + n) ■ k = (m ■ k) + (n ■ k),

4■ (Vn G N) 0 • n — 0,

5.    (Vm, n G N) m ■ n = n • m,

6.    (Vm, n, k G N) (m • n) ■ k = m ■ (n • k).