B Metody wykonywania pomiarow i szacowanie niepewnosci pomiaru
A. Metody opracowania i analizy wyników pomiarów K.KozÅ‚owski i R ZieliÅ„ski I Laboratorium z Fizyki część 1 Wydawnictwo PG. B. Metodyka wykonywania pomiarów oraz szacowanie niepewnoÅ›ci pomiaru. Celem każdego ćwiczenia w laboratorium studenckim jest zmierzenie pewnych wielkoÅ›ci i nastÄ™pnie obliczenie na podstawie tych wyników wartoÅ›ci wielkoÅ›ci badanej. Rezultatem koÅ„cowym badaÅ„ jest nie tylko otrzymany wynik. Nie mniej ważne jest dokonanie oceny dokÅ‚adnoÅ›ci pomiaru oraz opracowanie wniosków koÅ„cowych. Wnioski koÅ„cowe winny być rezultatem porównania zmierzonej wartoÅ›ci z tablicowymi. Warto zadać sobie pytanie: czy to, co zostaÅ‚o zmierzone ma sens i co z tego wynika? Aby wnioski byÅ‚y wiarygodne należy przeprowadzić analizÄ™ niepewnoÅ›ci i bÅ‚Ä™dów pomiaru. Wielkość niepewnoÅ›ci pomiaru pozwala na ocenÄ™ rezultatu. Niepewność wzglÄ™dna pomiaru w granicach od 0,1% do 10% jest typowa dla doÅ›wiadczeÅ„ w laboratoriach studenckich. Niepewność rzÄ™du kilkudziesiÄ™ciu procent zmusza do zastanowienia czy można ten pomiar wykonać dokÅ‚adniej (inne przyrzÄ…dy, może inna metoda& ). Wartość niepewnoÅ›ci mniejsza niż setna część procenta też jest niepokojÄ…ca. Taki poziom dokÅ‚adnoÅ›ci można uzyskać w najlepszych laboratoriach naukowych. Przedstawione dalej podejÅ›cie do oceny niepewnoÅ›ci pomiaru jest pewnym uproszczonym fragmentem dość skomplikowanej teorii, bazujÄ…cej na rozważaniach statystycznych. Metody wyznaczania niepewnoÅ›ci pomiarów przedstawione w tym rozdziale pozwalajÄ… na oszacowanie niepewnoÅ›ci maksymalnej w sposób szybki, w niektórych przypadkach nawet w pamiÄ™ci . WiÄ™cej informacji o podstawach oceny dokÅ‚adnoÅ›ci pomiarów można znalezć w rozdziale A Laboratorium z Fizyki K.KozÅ‚owski, R.ZieliÅ„ski, Wyd.PG.(2003) oraz w Pracowni fizycznej H.SzydÅ‚owski PWN (1999). IntegralnÄ… częściÄ… eksperymentu jest pomiar interesujÄ…cych wielkoÅ›ci fizycznych. Rezultatem pomiaru wielkoÅ›ci X jest wartość x oraz niepewność pomiaru "x. Niepewność tÄ™ można wyrazić w postaci uÅ‚amka lub procentowo jako wzglÄ™dnÄ… niepewność pomiaru "x Vx = . (B.1) x Wynik pomiaru wielkoÅ›ci X przedstawiamy w nastÄ™pujÄ…cy sposób (B.2) X = (x Ä… "x) [ jednostka ] lub X = x [ jednostka ] Ä… Vx Uwaga: PrawidÅ‚owo zapisany wynik koÅ„cowy pomiaru z reguÅ‚y wymaga zaokrÄ…glenia. Zasada zaokrÄ…glania jest nastÄ™pujÄ…ca: - niepewność "x pomiaru pewnej wielkoÅ›ci X zaokrÄ…glamy, zachowujÄ…c maksymalnie dwie cyfry znaczÄ…ce (np. "x1 = 0,0005678984 H" 0,00057 = 57ź10-5) - wynik pomiaru zaokrÄ…glamy do tego samego miejsca dziesiÄ™tnego, do którego zostaÅ‚o zaokrÄ…glone "x. (np. wynik X1 = 0,02345635523 H" 0,02346 = 2346ź10-5 bo "x1 = 57ź10-5) Może siÄ™ jednak zdarzyć, że w przypadku pojedynczych pomiarów niepewność pomiarowÄ… zaokrÄ…glamy pozostawiajÄ…c tylko jednÄ… cyfrÄ™ znaczÄ…cÄ…. Trzeba pamiÄ™tać, że zaokrÄ…glamy wynik koÅ„cowy, a nie wyniki poÅ›rednich obliczeÅ„! PrzykÅ‚ad 1 Badania Å›rednicy Åš drutu daÅ‚y nastÄ™pujÄ…cy rezultat: Åš=0,00345678m, "Åš=5,468789·10-4m. Niepewność pomiaru zaokrÄ…glona do dwóch cyfr znaczÄ…cych bÄ™dzie miaÅ‚a wartość "Åš=5,5·10-4m=0,00055m. Wartość Å›rednicy drutu, po zaokrÄ…gleniu do tego samego miejsca dziesiÄ™tnego, wyniesie Åš=0,00346m. KoÅ„cowy zapis wyniku badaÅ„ bÄ™dzie wiÄ™c mógÅ‚ mieć jednÄ… z nastÄ™pujÄ…cych postaci: Åš =(3,46Ä…0,55)·10-3 m, Åš =(346Ä…55)·10-5m, Åš =346(55)·10-5m, Åš =(3,5Ä…0,6)·10-3 m, Åš =3,5·10-3 mÄ…17%. DokÅ‚adność przeprowadzonego pomiaru zależy od wielu czynników, które można podzielić na tzw. bÅ‚Ä™dy i niepewnoÅ›ci pomiarowe. BÅ‚Ä™dy pomiarowe dzielimy na trzy grupy: 1. bÅ‚Ä…d przybliżenia, 2. bÅ‚Ä…d przeoczenia (systematyczne), 3. pomyÅ‚ki. BÅ‚Ä™dy przybliżenia wynikajÄ… z uproszczenia warunków pomiaru lub ze stosowania przybliżonych wzorów (np. sinÄ…=Ä… dla maÅ‚ych kÄ…tów). Gdy bÅ‚Ä™dy przybliżenia sÄ… wiÄ™ksze od niepewnoÅ›ci pomiarowych, wtedy należy wprowadzić odpowiednie poprawki. BÅ‚Ä™dy przeoczenia (systematyczne) wynikajÄ… z niedokÅ‚adnoÅ›ci użytych przyrzÄ…dów, bÅ‚Ä™dnej metody pomiaru lub dziaÅ‚ania trudno zauważalnych czynników zewnÄ™trznych. yle wykonana linijka, zle wykalibrowany miernik spowodujÄ…, że wynik bÄ™dzie systematycznie mniejszy lub wiÄ™kszy od rzeczywistej wartoÅ›ci. Wykrycie zródÅ‚a bÅ‚Ä™dów systematycznych jest trudne i wymaga porównania użytych przyrzÄ…dów ze wzorcem oraz dogÅ‚Ä™bnej analizy metody pomiaru. Przy wykonywanych w laboratorium studenckim ćwiczeniach zwykle zakÅ‚adamy, że przyrzÄ…dy sÄ… wolne od bÅ‚Ä™dów systematycznych. PomyÅ‚ki (bÅ‚Ä™dy grube) powstajÄ… wskutek faÅ‚szywego odczytania wskazaÅ„, bÅ‚Ä™dnego zapisania wyniku itp. PomyÅ‚ki dajÄ… siÄ™ Å‚atwo zauważyć i wyeliminować, ponieważ otrzymany wynik znacznie różni siÄ™ od innych wyników pomiarów tej samej wielkoÅ›ci. Wyniki obarczone bÅ‚Ä™dem grubym w dalszej analizie należy pominąć. Zbadanie przyczyn niepewnoÅ›ci pomiarowych pozwala na podzielenie wszystkich niepewnoÅ›ci na: 1. niepewność wzorcowania, 2. niepewność eksperymentatora, 3. niepewność przypadkowÄ…. Niepewność wzorcowania wynika ze stosowania wzorców-przyrzÄ…dów pomiarowych, które sÄ… zawsze obarczone pewnÄ… niepewnoÅ›ciÄ… pomiarowÄ…. Producenci przyrzÄ…dów pomiarowych majÄ… obowiÄ…zek gwarantować takÄ… dokÅ‚adność, by wynik pomiaru wykonanego za jego pomocÄ… nie różniÅ‚ siÄ™ od rzeczywistej wartoÅ›ci wielkoÅ›ci mierzonej wiÄ™cej niż o jednÄ… najmniejszÄ… dziaÅ‚kÄ™ podziaÅ‚ki zaznaczonej na skali przyrzÄ…du. Taki odstÄ™p "dx sÄ…siadujÄ…cych kresek podziaÅ‚ki wyrażony w odpowiednich jednostkach nazywamy dziaÅ‚kÄ… elementarnÄ…. PrzyrzÄ…dy cyfrowe majÄ… dziaÅ‚kÄ™ elementarnÄ… równÄ… jednostce dekady wskazujÄ…cej najmniejszÄ… wartość PrzykÅ‚ad 2 Mikroamperomierz wskazówkowy na zakresie 200µA ze skalÄ… podzielonÄ… jest na 100 dziaÅ‚ek ma dziaÅ‚kÄ™ elementarnÄ… "dI=2µA, natomiast cyfrowy mikroamperomierz wskazujÄ…cy np. wartość 197,32µA ma dziaÅ‚kÄ™ elementarnÄ… "dI=0,01µA. W starszych miernikach wskazówkowych niepewność pomiaru oblicza siÄ™ jako sumÄ™: "dx =.. %zakresu (tzw klasa miernika) + 0,5 dziaÅ‚ki elementarnej (niepewność odczytu) Wielu przyrzÄ…dach cyfrowych producent okreÅ›la niepewność wzorcowania jako sumÄ™, np.: "dx = ..% odczytu + ..%zakresu (ang. np.0.5 % of reading +0.2% of range) lub "dx = ..% odczytu + n cyfry (ang. np.0.2 % of reading +2 digits). PrzykÅ‚ad 3 Woltomierz pracujÄ…cy na zakresie 10V wskazaÅ‚ wartość U=6,56V. W instrukcji przyrzÄ…du znajdujemy: dokÅ‚adność (accuracy) Ä…(1% +1). Oznacza to, że niepewność wzorcowania w tym przypadku wynosi "dU = (1%ź6,56 +0,01) V=0,0756 V wynik koÅ„cowy: U =(6,56+0,08)V NiepewnoÅ›ciÄ… eksperymentatora "ex nazywamy iloÅ›ciowÄ… ocenÄ™ niepewnoÅ›ci wyniku spowodowanÄ… np. zÅ‚Ä… widocznoÅ›ciÄ… wskazówki i skali, szybkimi drganiami wskazówki lub szybkimi zmianami wskazaÅ„ miernika (z powodu zakłóceÅ„) itp. Eksperymentator musi sam ocenić wartość "ex. Dla periodycznych wahaÅ„ wartoÅ›ci mierzonej za "ex można przyjąć poÅ‚owÄ™ szerokoÅ›ci drgaÅ„ wyrażonÄ… w odpowiednich jednostkach. Niepewność przypadkowa przy pomiarze wielkoÅ›ci X jest wywoÅ‚ana ograniczonymi zdolnoÅ›ciami rozpoznawczymi naszych zmysłów (oka, ucha..), naturÄ… zjawiska oraz niestaÅ‚oÅ›ciÄ… warunków zewnÄ™trznych. Objawia siÄ™ statystycznym rozrzutem wyników, przy czym zródeÅ‚ takiego rozrzutu nie da siÄ™ rozróżnić. MiarÄ… takiego rozrzutu jest odchylenie standardowe Sx. UnikniÄ™cie niepewnoÅ›ci przypadkowych nie jest możliwe, jednakże teoria bÅ‚Ä™dów podaje zasady, które pozwalajÄ… ustalić ich wartość. PrawidÅ‚owe wykonanie ćwiczenia, z reguÅ‚y, wiąże siÄ™ z dokonaniem jednego pomiaru lub kilku pomiarów tej samej wielkoÅ›ci albo serii pomiarów w różnych warunkach. Ponieważ w laboratorium fizycznym bardzo czÄ™sto wykonujemy wiele pomiarów, dlatego analiza niepewnoÅ›ci musi opierać siÄ™ na statystyce, co niestety nieco utrudnia obliczenia. Kilka pomiarów tej samej wielkoÅ›ci (np. wielkoÅ›ci X) w takich samych warunkach dokonuje siÄ™ celem uzyskania dokÅ‚adniejszego wyniku. Każdy z tych pomiarów daje na ogół nieco innÄ… wartość. Obserwuje siÄ™ rozrzut wyników, który zależy od stopnia dokÅ‚adnoÅ›ci wykonanych pomiarów. Teoria (patrz rozdziaÅ‚ A) pozwala stwierdzić, że wartość Å›rednia n pomiarów x stanowi tzw. wartość najbardziej prawdopodobnÄ… (zbliżonÄ… do rzeczywistoÅ›ci) danej serii pomiarowej, przy czym: n x1 + .. + xn 1 x = czyli x = , (B.3) "xk n n k=1 gdzie: x1 , x2, x2... xn oznaczajÄ… kolejne pomiary wartoÅ›ci x. AnalizujÄ…c odchylenia pojedynczych pomiarów od wartoÅ›ci Å›redniej - czyli różnice (xk- x) - można zauważyć, że nie wszystkie odchylenia sÄ… jednakowo prawdopodobne. Odchylenia duże sÄ… mniej prawdopodobne od odchyleÅ„ maÅ‚ych. Zależność prawdopodobieÅ„stwa czÄ™stoÅ›ci wystÄ™powania odchyleÅ„ od ich wartoÅ›ci nazywa siÄ™ rozkÅ‚adem prawdopodobieÅ„stwa. Dla dużej iloÅ›ci prób (pomiarów) stosujemy rozkÅ‚ad Gaussa (normalny) natomiast dla maÅ‚ej iloÅ›ci pomiarów stosujemy rozkÅ‚ad Studenta. Na rysunku 1 przedstawione sÄ… wykresy obu rozkÅ‚adów. Odchylenie standardowe Sx w rozkÅ‚adzie Gaussa należy rozumieć w tym sensie, że wartość rzeczywista X znajduje siÄ™ w przedziale < x - Sx , x + Sx > z prawdopodobieÅ„stwem p wynoszÄ…cym okoÅ‚o 0,683 (prawdopodobieÅ„stwo to nazywa siÄ™ poziomem ufnoÅ›ci). Jest to wartość pola pod krzywÄ… w granicach < x - Sx , x + Sx >. Uwaga: w analizach statystycznych czÄ™sto stosuje siÄ™ poziom ufnoÅ›ci p=0,68. Wówczas, przy dużej liczbie pomiarów (n>9), odchylenie standardowe Sx w rozkÅ‚adzie Gaussa oblicza siÄ™ ze wzoru: n 2 (xk - x) " k =1 Sx = . (B.4) n(n -1) a/ RozkÅ‚ad Gaussa b/ RozkÅ‚ad Studenta Ć(x) Ć(x) punkt przegiÄ™cia x -Sx x x +Sx x -tnSx x x +tnSx Rys.1 Jak wynika z rysunku 1, krzywa Studenta jest bardziej spÅ‚aszczona w stosunku do krzywej Gaussa. Dlatego odchylenie standardowe w rozkÅ‚adzie Studenta jest tn razy wiÄ™ksze od odchylenia standardowego w rozkÅ‚adzie normalnym. Wartość współczynnika tn (zwanego współczynnikiem krytycznym rozkÅ‚adu Studenta) zależy od iloÅ›ci pomiarów i od poziomu ufnoÅ›ci. W tabeli 1 przedstawione sÄ… wartoÅ›ci tn w zależnoÅ›ci od liczby pomiarów n dla poziomu ufnoÅ›ci p=0,683. Tabela 1. n 6 7 8 9 10 11 tn 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 W praktyce laboratoryjnej przyjmujemy zaÅ‚ożenie, że gdy liczba n pomiarów jest niewielka (6d"nd"11), do analizy statystycznej otrzymanych rezultatów i oceny niepewnoÅ›ci przypadkowej wartoÅ›ci Å›redniej stosuje siÄ™ rozkÅ‚ad Studenta. Wówczas odchylenie standardowe Sx wartoÅ›ci Å›redniej x oblicza siÄ™ ze wzoru: n 2 (xk - x) " Sx = tn k =1 . (B.5) n(n -1) Jeżeli wymagana jest prawie absolutna pewność (p=0,997), że wartość rzeczywista znajduje siÄ™ w przedziale okreÅ›lonym niepewnoÅ›ciÄ… pomiaru, należy używać potrojonej wartoÅ›ci odchylenia standardowego (tzw. reguÅ‚a 3 Sx ). W naszej analizie niepewnoÅ›ci pomiaru wartość 3 Sx przyjmiemy jako maksymalne odchylenie standardowe wartoÅ›ci Å›redniej. PodsumowujÄ…c można powiedzieć, że wynikiem wielokrotnego pomiaru tej samej wielkoÅ›ci w tych samych warunkach jest Å›rednia arytmetyczna poszczególnych rezultatów x (wzór B.3), natomiast jej niepewnoÅ›ciÄ… przypadkowÄ… jest maksymalne odchylenie standardowe 3 Sx obliczone ze wzoru (B.4 lub B.5). Trzeba pamiÄ™tać, że dokÅ‚adność pomiarów wartoÅ›ci x może być ograniczona istnieniem niepewnoÅ›ci wzorcowania "dx i niepewnoÅ›ci eksperymentatora "ex. Dlatego w ogólnym przypadku wartość maksymalnej niepewnoÅ›ci "x obliczamy ze wzoru: "x = "dx + "ex +3 Sx . (B.6) Powyższy wzór upraszcza siÄ™ znacznie, gdy jeden lub dwa rodzaje niepewnoÅ›ci nie wystÄ™pujÄ… lub sÄ… do zaniedbania. PrzykÅ‚adowo, wykonujÄ…c jeden pomiar przyjmujemy 3 Sx =0. PrzykÅ‚ad 4 Wykonano seriÄ™ pomiarów czasu spalania zapaÅ‚ek, uzyskujÄ…c nastÄ™pujÄ…ce wyniki: t1= 15s, t2= 16s, t3= 13s, t4= 14s, t5= 7s, t6= 15s, t7= 17s, t8= 16s. WstÄ™pna analiza pozwala na wyeliminowanie piÄ…tego pomiaru jako pomyÅ‚ki (bÅ‚Ä™du grubego). Wynikiem pomiaru jest obliczona na podstawie wzoru B.3 Å›rednia t =15,1428 s. Z tabeli 1 wynika, że dla n=7 współczynnik krytyczny rozkÅ‚adu Studenta wynosi tn=1,09. Dlatego odchylenie standardowe wartoÅ›ci Å›redniej St jest równe 0,55s (wzór B.5). Po uwzglÄ™dnieniu niepewnoÅ›ci wzorcowania "dt=0,01s oraz czasu reakcji przy wÅ‚Ä…czaniu i wyÅ‚Ä…czaniu stopera "et=2ź0,1s =0,2s , można obliczyć (wzór B.6) i zapisać, że z prawdopodobieÅ„stwem 0,997, Å›redni czas palenia siÄ™ zapaÅ‚ek z tej próby wynosi: t =(15,1Ä…1,9) s. Uwaga: niepewność jest stosunkowo duża, ale z prawdopodobieÅ„stwem bliskim jednoÅ›ci można przyjąć, że rzeczywista wartość czasu spalania mieÅ›ci siÄ™ w podanych granicach. PrzykÅ‚ad 5 MierzÄ…c linijkÄ… wysokość krawężnika otrzymano wynik L=156mm. Ze wzglÄ™du na zużycie linijki oraz obÅ‚y ksztaÅ‚t krawÄ™dzi krawężnika niepewność eksperymentatora oszacowano na "eL=3mm. W powiÄ…zaniu z niepewnoÅ›ciÄ… wzorcowania "dL=1mm, wyliczona na podstawie wzoru B.6 niepewność pomiaru wynosi "L=4mm. Wynik koÅ„cowy ma wiÄ™c postać L=(156Ä…4)mm. PrzykÅ‚ad 6 Przy pomocy suwmiarki zmierzono Å›rednicÄ™ prÄ™ta, otrzymujÄ…c wynik Åš=12,1mm, obarczony niepewnoÅ›ciÄ… wzorcowania "dÅš=0,1 mm. PowtarzajÄ…c wielokrotnie ten sam pomiar uzyskiwano tÄ™ samÄ… wartość Åš=12,1mm. Ponieważ prÄ™t można byÅ‚o bez problemu objąć szczÄ™kami suwmiarki, przyjÄ™to niepewność eksperymentatora równÄ… zero. Na podstawie wzoru (B.6) przyjÄ™to wiÄ™c, że niepewność pomiaru Å›rednicy jest równa "Åš="dÅš=0,1 mm. Wynikiem koÅ„cowym jest zatem wartość: Åš=(12,1Ä…0,1)mm. Przedstawione powyżej przykÅ‚ady dotyczÄ… bezpoÅ›redniego pomiaru jednej wielkoÅ›ci fizycznej. W praktyce laboratoryjnej wielkoÅ›ci fizyczne bardzo czÄ™sto mierzone sÄ… w sposób poÅ›redni. PrzykÅ‚adowo, aby wyznaczyć Å›redniÄ… prÄ™dkość samochodu wystarczy zmierzyć czas ruchu i przebytÄ… drogÄ™. InteresujÄ…cÄ… nas wielkość obliczymy, podstawiajÄ…c wyniki naszych pomiarów do wzoru V=s/t, bÄ™dÄ…cego matematycznym zapisem prawa fizycznego, wiążącego nieznanÄ… prÄ™dkość ze znanymi z pomiarów drogÄ… i czasem (mówimy, że prÄ™dkość jest wielkoÅ›ciÄ… zÅ‚ożonÄ…). Uogólnijmy teraz nasze rozważania. JeÅ›li wielkość y jest funkcjÄ… L zmiennych, czyli y(x1,x2& xL), to, aby wyznaczyć wartość y i niepewność pomiaru "y należy zmierzyć wielkoÅ›ci zmiennych x1,x2& xL, oraz okreÅ›lić ich niepewnoÅ›ci maksymalne "xk. Niepewność maksymalnÄ… pomiaru wielkoÅ›ci zÅ‚ożonej y obliczamy ze wzoru L "y "y "y "y = "xk = "x1 + ... + "xL (B.7) " "xk "x1 "xL k =1 "y gdzie: sÄ… kolejnymi pochodnymi czÄ…stkowymi. "xk W praktyce, gdy funkcja ma postać iloczynu: a b c y = Ax1 x2 x3 ..., (B.8) wzglÄ™dna maksymalna niepewność pomiaru wielkoÅ›ci zÅ‚ożonej y(x1 , x2 , x3 ,..) jest wyrażona wzorem: "y "x1 "x2 "x3 = a + b + c + .. . (B.9) y x1 x2 x3 PrzykÅ‚ad 7 Celem obliczenia energii kinetycznej wagonu, zmierzono jego prÄ™dkość i masÄ™, uzyskujÄ…c nastÄ™pujÄ…ce rezultaty: V=(31Ä…2) m/s i m=(15,0Ä…0,5) t. mV2 Energia kinetyczna wagonu wynosi: E = = 7207500 J . 2 "E "m "V Na podstawie wzoru B.9 mamy = + 2 =0,162. E m V Oznacza to, że "E=0,162`E=1167615J. Wynik koÅ„cowy ma wiÄ™c postać E=(72Ä…12)·105 J. Wykonywanie wykresów i graficzna analiza funkcji liniowej. W praktyce pomiarowej osobny problem stanowi zbadanie (lub potwierdzenie) istnienia okreÅ›lonej relacji miÄ™dzy wielkoÅ›ciami fizycznymi. W takim przypadku pomiary badanej wielkoÅ›ci Y wykonujemy przy wielu celowo wybranych wartoÅ›ciach innej wielkoÅ›ci X. W rezultacie uzyskujemy zbiór n niezależnych wyników (xi,yi), gdzie i=1,2,3& n. Jednym ze sposobów opracowania takich danych jest naniesienie punktów pomiarowych na wykres. Otrzymany ukÅ‚ad punktów może sugerować istnienie zależnoÅ›ci miÄ™dzy wielkoÅ›ciami y i x w postaci znanych funkcji, np. liniowej (lub w postaci bardziej zÅ‚ożonej, np. kwadratowej czy eksponencjalnej). Do weryfikacji, czy dana funkcja prawidÅ‚owo opisuje poÅ‚ożenie punktów pomiarowych sÅ‚uży metoda najmniejszych kwadratów (patrz rozdziaÅ‚ A). MetodÄ… najmniejszych kwadratów można w stosunkowo prosty sposób wyznaczyć współczynniki a i b funkcji liniowej typu y=ax+b (warto mieć kalkulator lub komputer). Bardzo zbliżone wyniki przy analizie współczynników a i b można uzyskać wykorzystujÄ…c metodÄ™ graficznÄ…. W tym przypadku należy: 1. narysować i opisać ukÅ‚ad współrzÄ™dnych oraz zaznaczyć punkty pomiarowe wraz z niepewnoÅ›ciami pomiaru (Rys.2a), 2. jeÅ›li punkty ukÅ‚adajÄ… siÄ™ wzdÅ‚uż linii prostej (kwestia oceny eksperymentatora na oko ) narysować liniÄ™ prostÄ… tak, aby w przybliżeniu po obu stronach linii pozostaÅ‚ ta sama liczba punktów (Rys.2a), 3. okreÅ›lić pewien szeroki przedziaÅ‚ wartoÅ›ci argumentu czyli "x ("t na rys.2a) i odpowiadajÄ…cy jemu przyrost funkcji "y ("s na rys.2a). Współczynnik nachylenia a narysowanej prostej bÄ™dzie wynosiÅ‚ a="y/"x. Współczynnik b jest punktem przeciÄ™cia prostej z osiÄ… y, Uwaga: współczynnik a praktycznie nigdy nie jest tangensem kÄ…ta nachylenia prostej (kÄ…ta, który można odczytać z wykresu), 4. w celu wyznaczenia niepewnoÅ›ci pomiaru współczynnika a rysować dwie proste o skrajnych nachyleniach, obejmujÄ…ce punkty pomiarowe (rys.2b), 5. wyznaczyć współczynniki nachylenia obu prostych a1 i a2. Niepewność maksymalna pomiaru współczynnika a jest równa różnicy "a= a- a1 lub "a= a- a2, przy czym
wybieramy wartość wiÄ™kszÄ…. [np. z rys.2b "V=4,5 m/s czyli V=(20,3Ä…4,5)m/s] Rys. 2a. Wykres pomiarów zasiÄ™gu lotu trzmiela w funkcji czasu. Wyznaczenie prÄ™dkoÅ›ci lotu. Rys.2b Wykres pomiarów zasiÄ™gu lotu trzmiela w funkcji czasu. Wyznaczenie niepewnoÅ›ci pomiaru prÄ™dkoÅ›ci lotu. PowyższÄ… procedurÄ™ można zastosować nie tylko do prostych zależnoÅ›ci liniowych np. s(t)=vt, U(I)=RI, R(t)=Ro(1+Ä…t). Wiele innych zależnoÅ›ci, po odpowiednich przeksztaÅ‚ceniach, można doprowadzić do postaci liniowej. PrzykÅ‚ad 8 Prawo pochÅ‚aniania promieniowania gamma jest opisane funkcjÄ… N(d) N(d) = N0e-· d czyli = e- · d . N0 Po zlogarytmowaniu obu stron równania można otrzymać postać N(d) ln = -·d. N0 JeÅ›li za ln(N(d)/N0) podstawimy y, za d zmiennÄ… x to otrzymujemy typowÄ… funkcjÄ™ liniowÄ… typu y=ax, gdzie a=- ·. Uwagi przydatne przy wykonywaniu doÅ›wiadczeÅ„. 1.W suwmiarkach, Å›rubach mikrometrycznych oraz przy niektórych skalach kÄ…towych korzysta siÄ™ podziaÅ‚ki zwanej noniuszem. Wartość mierzonÄ… za pomocÄ… tych przyrzÄ…dów odczytujemy z grubsza z poÅ‚ożenia kreski przy zerze 0 . DziesiÄ…te i setne części, odczytujemy z miejsca, w którym dowolna z kresek na skali noniusza pokrywa siÄ™ z kreskÄ… skali głównej. PrzykÅ‚ad odczytu przedstawiono na rysunku 4, przedstawiajÄ…cym wynik pomiaru szerokoÅ›ci nakrÄ™tki M3, S=(5,40Ä…0,05)mm. Skala noniusza -odczyt dziesiÄ…tych i Skala główna setnych części mm - odczyt w cm Rys.4 2. Na wykresach skalÄ™ dobierać tak, aby uzyskane krzywe zajmowaÅ‚y prawie caÅ‚y dostÄ™pny obszar. Zaczynanie skali od zera nie jest konieczne!! 3.Nie należy Å‚Ä…czyć punktów pomiarowych odcinkami. Powstanie wówczas linia Å‚amana, która nie jest dobrym opisem uzyskanych punktów pomiarowych ! Krzywa doÅ›wiadczalna zazwyczaj jest liniÄ… gÅ‚adka rysowanÄ… tak, aby po obu jej stronach znajdowaÅ‚a siÄ™ taka sama liczba punktów pomiarowych. UWAGA: Przed przystÄ…pieniem do wykonywania zadania laboratoryjnego należy zrozumieć badane zjawisko fizyczne, metodÄ™ pomiaru oraz uÅ›wiadomić sobie cel danego ćwiczenia. Dobre przygotowanie do dziaÅ‚aÅ„ jest podstawÄ… do osiÄ…gniÄ™cia celu. OpracowaÅ‚: B.Kusz