ROZWIZANIA ZADAC EGZAMINACYJNYCH
Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI
STUDIUM ZAOCZNE (GRUDZIDZ)
SEMESTR II
z dnia 03.07.2004
Zadanie 1
Dla podanego obwodu napisać równania według metody potencjałów węzłowych umożliwiających jego rozwiązanie.
V2
R1 R3
R2
R4
R5
E
V1
V3
R0
I0
RozwiÄ…zanie
Narzucone w treści zadania oznaczenia (nazwy) potencjałów punktów węzłowych oraz zerowa (odniesieniowa) wartość
potencjału pozwalają określić potencjał jednego z węzłów bezpośrednio:
V3 = - E
Pozostałe równania zapisać należy bazując na prądowym prawie Kirchhoffa następująco:
V1 - V2 V1
+ = I0
R1 R5 ,
- dla węzła z potencjałem V
1
V2 - V1 V2 - V3 V2
+ + = 0
R1 R3 + R R2 .
4
- dla węzła z potencjałem V
2
Proste przekształcenia tych równań prowadzą do układu:
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
+ Å" V1 - Å" V2 = I0
ìÅ‚
R1 R5 ÷Å‚ R1
íÅ‚ Å‚Å‚
,
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 E
ìÅ‚ ÷Å‚ -
- Å" V1 + + + Å" V2 =
÷Å‚
R1 ìÅ‚ R1 R2 R3 + R R3 + R4
íÅ‚ 4 Å‚Å‚
.
Zadanie 2
Obliczyć wartość rezystancji Rx, przy której moc wydzielona w tym rezystorze ma wartość największą. Obliczyć tę moc.
1k 3k
40V
20mA
Rx 2k
RozwiÄ…zanie
W celu rozwiązania zadania należy wyciąć z obwodu rezystor Rx i punktu widzenia zacisków, pozostałych po tym cięciu,
zastosować twierdzenie Thevenina o zastępczym zródle napięciowym. W ten sposób obwód zostanie doprowadzony do postaci
pokazanej na następującym rysunku:
RT
ET Rx
Wyznaczenie wartości zastępczego napięcia zródłowego Thevenina E polega na rozwiązaniu obwodu pozostałego po wycięciu
T
R w obwodzie
x
1k
3k
40V
2k
20mA
Zastosowanie twierdzenia Thevenina w tym obwodzie przekształci obwód do postaci:
1k 3k 2k
40V
40V
Tutaj już prosto wyznaczyć można napięcie na zaciskach pozostałych po R , bowiem ze względu na równowagę zródeł
x
napięciowych, w obwodzie prąd nie będzie płynął. W związku z tym E = 40 V. Rezystancja R będzie efektem połączenia
T T
równoległego 1 k&! i 5 k&! (2 k&! + 3 k&!) czyli R = 833 &!. Dopasowanie energetyczne osiągnięte zostanie dla R = R = 833 &!,
T x T
zaś maksymalna moc wydzielająca się na R będzie
x
ET 2 402
Px max = = = 480 mW.
4Å" RT 4Å" 833
Zadanie 3
Obliczyć wartość średnią i wartość skuteczną podanego okresowo zmiennego przebiegu napięcia.
u [V]
24
12
5 15 t [ms]
10
-12
RozwiÄ…zanie
Obliczenia wartości średniej i skutecznej przebiegu okresowego wymagają, zgodnie z definicja tych wartości, całkowania
przebiegu oraz jego kwadratu w przedziale równym okresowi. Należy więc przede wszystkim zadany przebieg napięcia opisać
analityczne w przedziale okresowości:
Å„Å‚ 24
Å" (t
ôÅ‚ - 5m) dla t " (0,10m]
u(t) =
10m
òÅ‚
ôÅ‚12 dla t "
(10m,15m]
ół
.
Zgodnie z definicją wartości średniej:
15m 10m 15m
1 1 îÅ‚ 24 Å‚Å‚
UÅ›r = Å" (t) dt = Å" Å" (t - 5m) dt +
+"u 15m +" +"12 dt = Kð = 4 V.
ïÅ‚ śł
15m 10m
0 ðÅ‚ 0 10m ûÅ‚
Podobnie wartość skuteczna:
2
15m 10m 15m
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 24
ëÅ‚
2
Usk = Å" (t) dt = Å" Å" (t
ïÅ‚ ìÅ‚ - 5m)öÅ‚ dt + (12) dt = Kð = 4 5 V H" 8,944 V.
÷Å‚ śł
+"u2 +" +"
15m 15m 10m
0 ïÅ‚ 0 íÅ‚ Å‚Å‚ 10m śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Zadanie 4
Na rysunku przedstawiono przebieg mocy chwilowej p(t) odbiornika. Wyznaczyć współczynnik mocy tego odbiornika oraz
częstotliwość napięcia zasilającego.
p(t) [W]
30
10
t [ms]
10
-10
RozwiÄ…zanie
Współczynnik mocy odbiornika, jak wiadomo, jest stosunkiem mocy czynnej do pozornej tego odbiornika. Z załączonego
rysunku, przedstawiającego moc chwilową odbiornika, można odczytać moc czynną, jako wartość średnią za okres mocy
chwilowej (P = 10 W) oraz moc pozorną, jako amplitudę zmian mocy chwilowej (S = 20 VA). Poszukiwany współczynnik mocy
jest więc równy
P 10
cos(Õ ) = = = 0,5
S 20
.
Częstotliwość mocy chwilowej jako odwrotność okresu jest zaś równa
1 1
fp = = = 100 Hz.
10m 0,01
Częstotliwość mocy chwilowej jest dwukrotnie większa od częstotliwości harmonicznych przebiegów napięciowo prądowych,
więc poszukiwana częstotliwość napięcia zasilającego f = 50 Hz.
Zadanie 5
W podanym obwodzie prÄ…du przemiennego obliczyć wskazanie watomierza i amperomierzy. Przyjąć e(t) = 230·sin(Ét) V,
É = 314 s-1. Naszkicować wykres fazorowy ukÅ‚adu.
W A2
0,2 H
120 &!
e(t)
A3 20 µ F
A1
RozwiÄ…zanie
Obwód rozwiązać najlepiej stosując metodę wartości skutecznych zespolonych. W tym celu naszkicować wypada schemat
obwodu raz jeszcze, z wartościami impedancji zespolonych elementów i wartością skuteczną zespolona napięcia zasilającego.
jXL
E 120 &!
-jXC
Wartości reaktancji X oraz X obliczymy następująco:
L C
XL = É L = 314Å" 0,2 = 62,8 &!
,
1 1
XC = = = 159,23 &! .
É C 314Å" 20 Å"10- 6
230
E = Å" exp(jÅ" 0o) H" 162,64 V.
2
Wartość skuteczna zespolona napięcia zasilającego
Z wielu znanych metod rozwiązania zaproponuję następującą:
ëÅ‚ - jXC Å" IC
öÅ‚
- jXC Å" IC + jXL Å" ìÅ‚ IC + ÷Å‚ = E
ìÅ‚ ÷Å‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
E 162,64
IC = = = Kð = 1,276Å" exp(jÅ" 49.17o) A.
XC Å" XL 159,23Å" 62,8
stÄ…d
- jÅ" XC + jÅ" XL + + jÅ" (62,8 - 159,64)
R 120
- jÅ" XC - jÅ" 159,64
PozostaÅ‚e prÄ…dy bÄ™dÄ… IR = IC = Å" 1,276Å" exp(jÅ" 49.17o) = 1,693Å" exp(- jÅ" 40,83o) A,
R 120
IL = IC + IR = 1,276Å" exp(jÅ" 49.17o)+ 1,693Å" exp(- jÅ" 40,83o) = 2,12Å" exp(- jÅ" 3,83o) A.
Amperomierze będą więc wskazywać wartości:
- A : 2,12 A,
1
- A : 1,276 A,
2
- A : 1,693 A.
3
Wskazanie watomierza obliczymy jako PW = Re { E Å" IL}= Re { 162,64Å" 2,12Å" exp(jÅ" 3,83o)} = 344,05 W.
Wykres fazorowy (bez skali) przedstawia następujący rysunek:
IL
IC
UL
E
IR
URC
Zadanie 6
Obliczyć dla jakiej wartości pojemności C wskazanie amperomierza nie zależy od stanu łącznika. Obliczyć to wskazanie
amperomierza. Wykonać wykres fazorowy prÄ…dów i napięć dla obu stanów Å‚Ä…cznika. Przyjąć dane: e(t) = 230·sin(Ét) V,
É = 314 s-1, R = 100 ©, R = 200 ©.
0
R
u(t) R0
C
A
C "
Uwaga: Przypadek , który zapewnia X = 0, jako trywialny, nie stanowi rozwiązania zadania.
C
RozwiÄ…zanie
Jest oczywiste, że amperomierz pokaże tę samą wartość niezależnie od stanu klucza wówczas, gdy moduły impedancji
zespolonych obwodu w obu przypadkach będą równe sobie. W przypadku otwartego łącznika:
1
1
2
ZO = R +
czyli ZO = R + ;
2
jÉ C
É C2
Gdy łącznik jest zamknięty
1
R0 Å"
2
jÉ C R0 R0 Å" (1- jÉ R0C) R0 É R C
0
ZZ = R + = R + = R + = R + - jÅ"
.
2 2 2
1
1+ jÉ R0C
1+ (É R0C) 1+ (É R0C) 1+ (É R0C)
R0 +
jÉ C
Moduł tej impedancji jest równy
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
R0 öÅ‚ ëÅ‚ É R02C
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ZZ = R + + .
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1+ (É R C) 1+ (É R0C)
íÅ‚ 0 Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Równość modułów impedancji prowadzi do równania
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
1 R0 öÅ‚ ëÅ‚ É R02C
2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
R + = R + + ,
2 2 2
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
É C2 ìÅ‚
1+ (É R0C) 1+ (É R0C)
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
które po niezbędnych przekształceniach algebraicznych prowadzi do dwukwadratowgo równania względem poszukiwanej
pojemności C w postaci
4 2
2É R03R Å" C4 + É R0(2R - R0) Å" C2 - 1 = 0 .
Jedynym rozwiązaniem dodatnim takiego równania jest
1
C =
,
É 2R R
0
co po podstawieniu danych liczbowych daje wartość C = 15,92 µF.
Wskazanie amperomierza będzie wówczas równe
230
I = = 0,727 A.
2
ëÅ‚ öÅ‚
106 ÷Å‚
ìÅ‚
2 1002 +
ìÅ‚ ÷Å‚
314Å"15,92
íÅ‚ Å‚Å‚
Wykresy fazorowe można przedstawić następująco:
Io
URo IZ
IC
UC
E
IR0 URz
UR0C
Zadanie 7
Obliczyć pulsację i częstotliwość rezonansową obwodu oraz naszkicować wykres fazorowy obwodu dla częstotliwości
rezonansowej.
Przyjąć dane: R = 10 &!, L = 40 mH, C = 250 nF.
R
C
L
R
RozwiÄ…zanie
Impedancja zespolona obwodu jest
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
1 R Å" jÉ L 1 jÉ RL Å" (R - jÉ L) É RL2 ìÅ‚ É R L 1
Z = R + + = R + + = R + + jÅ" - ÷Å‚
.
2 2 2 2
÷Å‚
jÉ C R + jÉ L jÉ C R + É L2 R2 + É L2 ìÅ‚ R2 + É L2 É C
íÅ‚ Å‚Å‚
Jak wiadomo warunkiem rezonansu jest zerowanie się części urojonej impedancji zespolonej obwodu, więc:
É R2L 1
- = 0 .
2 2
R + É L2 É C
Wyznaczona stÄ…d pulsacja É okreÅ›lona jest wzorem
r
1
É =
r
L .
öÅ‚
LCëÅ‚ 1- ÷Å‚
ìÅ‚
2
R C
íÅ‚ Å‚Å‚
Po podstawieniu danych liczbowych okazuje siÄ™, że obliczenie É prowadzi do wyniku zespolonego, co oznacza, że nie ma takiej
r
częstotliwości napięcia (lub prądu) zasilającego, przy której obwód byłby w rezonansie.
Gdyby rezonans był możliwy, to wykres fazorowy obwodu w stanie rezonansu mógłby wyglądać następująco:
IR
URL
UC
UR IL
U
I
Zadanie 8
W układzie 1-kreskowym podanym na rysunku odbiornik energii posiada następujące dane znamionowe: U = 230 V,
n
P = 2,5 kW, cosĆ =0,6. Ponadto X = 0,25 &!. Częstotliwość przebiegów napięciowo-prądowych f = 50 Hz.
n
Naszkicować wykres fazorowy układu oraz obliczyć:
- pojemność C kompensującą moc bierną układu do poziomu cosĆ =0,94;
z
- moc czynną wydzielającą się w odbiorniku gdy napięcie zasilania układu U = 235 V.
z
X
Odb.
C
RozwiÄ…zanie
ZakÅ‚adajÄ…c znamionowa pracÄ™ odbiornika, czyli napiÄ™cie na jego zaciskach równe Uo = 230Å" exp(jÅ" 0o) V obliczyć można prÄ…d
pobierany przez ten odbiornik:
Pn 2500
Io = exp(- jÅ" Õ ) = exp(- jÅ" arccos(0,6)) = 18,12 Å" exp(- jÅ" 53,13o) A.
Un cos(Õ ) 230Å" 0,6
Spadek napięcia na szeregowej reaktancji indukcyjnej
UX = jX Å" Io = jÅ" 0,25Å" 18,12Å" exp(- jÅ" 53,13o) = 4,53Å" exp(jÅ" 36,87o) V.
W związku z tym napięcie na pojemności równe napięciu zasilającemu (przy założeniu znamionowej pracy odbiornika) będzie:
UC = Uo + UX = 230 + 4,53Å" exp(jÅ" 36,87o) = 233,64Å" exp(jÅ" 0,67o) V.
To umożliwia obliczenie pojemności kompensującej moc bierną do żądanego poziomu:
P Å" (tgÕ - tgÕ )
" 2500Å" (tg(0,67o + 53,13o)- tg(arccos(0,94)))
p
C = = = 146,2 µ F .
100Ä„ Å" 233,642
É Å" UC 2
Wykres fazorowy układu przedstawia rysunek:
UC
UO UX
I
IO IC
Wyszukiwarka