ANALIZA, STUDIA ZAOCZNE
sem.1.
T1.
Podstawowe własności funkcji rzeczywistych
1. Zbadać, czy podane funkcje f : X Y są  na :
(a) f(x) = x2 , X = R, Y = R
1
(b) f(x) = , X = R+ , Y = 0, +")
x
x-1
(c) f(x) = , X = (-", -2) *" (-2, +") , Y = R
x+2
(d) f(x) = cos x, X = 0, 2Ä„ , Y = -1, 1
2. Zbadać, czy podane funkcje są równoważne:

(a) f(x) = |x - 2| , g(x) = (x - 2)2
"
(b) f(x) = sin x , g(x) = 1 - cos2 x
4-x2
(c) f(x) = 2 - x , g(x) =
2+x
3. Sprawdzić, że podane funkcje są okresowe oraz podać ich okresy podstawowe:
(a) f(x) = sin 3x
(b) f(x) = tgx
3
(c) f(x) = 4
4. Na podstawie definicji ustalić, które z podanych funkcji są parzyste, a które
nieparzyste:
(a) f(x) = x5 + x3
(b) f(x) = x5 + x3 - 2
(c) f(x) = x4 + x2 + 3
5. Obliczyć:
(a) log10 0.0001

1
1
(b) log
2
8
1
"
(c) log 8
2
2
6. Wykreślić funkcje:
(a) y = 3 - 2-x
1
(b) y = log x
2
7. Ustalić, które z podanych funkcji są różnowartościowe:
(a) f(x) = sin x , x " R

Ä„ 3Ä„
(b) f(x) = sin x , x " ,
2 2
(c) f(x) = x2 , x " R
(d) f(x) = x2 , x " (-", 0
8. Jakie własności mają dane odwzorowania ? Znalez
ć do nich odwrotne (ewentu-
alnie odpowiednio zawężając dziedzinę), narysować wykresy odwzorowań da-
nych i odwrotnych.
(a) f(x) = x2
(b) f(x) = log2 x
(c) f(x) = 2x
(d) f(x) = sin x
(e) f(x) = cos x
(f) f(x) = tg x
(g) f(x) = ctg x
3Ä„
(h) f(x) = sin x , x " Ą ; , funkcję odwrotną zapisać przy pomocy
2 2
arc sin x i arc cos x.
Ä„ Ä„
9. Obliczyć arc cos(2 · sin · cos )
12 12
10. Porównując wykresy funkcji sprawdzić, że dla x " -1, 1 prawdziwa jest
tożsamość:
Ä„
arc sin x + arc cos x =
2
11. Okreslić dziedzinę i zbiór wartości złożenia funkcji f ć% g i g ć% f dla:
"
x
a) f(x) = x , g(x) = x2 + 1 b) f(x) = arc sin x , g(x) =
x2 + 1
2
12. Korzystając z wykresów funkcji zbadać istnienie kresów dolnych i górnych
funkcji:
1
a) f(x) = x2 b) f(x) = c) f(x) = log2 x
1 + x2
d) f(x) = 2-x e) f(x) = |arctgx|
T2.
CiÄ…gi liczbowe
1. Obliczyć granice :
n2 - 7n + 1 3 + n2 - 2n3 1 - n5
a) lim b) lim c) lim
n" n" n"
n3 + 5n + 3 5n3 - 7 1 + 4n4
(uogólnić a), b), c))
" " "
d) lim (n - n2 + 5) e) lim (2n - n2 + 5) f) lim ( 4n2 + 5n - 2n)
n" n" n"
2. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice następujących cią-
gów:

" "
2n + sin n
n n n
a) lim 3n + 5n b) lim 3n + Ä„n + en c) lim
n" n" n"
3n + Ä„n + en
n
d) lim sin(3n + 1)
n"
n2 + 1
3. Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić
zbieżność ciągów:
(n!)2 1 1 1
a) an = , n " N b) bn = (1 - )(1 - )...(1 - ) , n " N
(2n)! 3 32 3n
n
1
4. Korzystając z definicji liczby e (n" 1 + = e ) oraz następującej własno-
lim
n
ści
wn
1
lim 1 + = e
|wn|"
wn
obliczyć granice:
n n n
3 a 5n
a) lim 1 - b) lim 1 + c) lim
n" n" n"
n n 5n + 3
4n2 2"n-3
"
-3
4 + n 5n+1 n2 - 3 n + 1
d) lim e) lim f) lim "
n" n" n"
2 + n n2 n - 1
3
T3,4,5.
Granica funkcji. Pochodna. Ekstrema lokalne.
Asymptoty i punkty przegięcia wykresu funkcji.
1. Obliczyć granice:
x2 + 3x + 1 x3 + 1 x + 3
a) lim b) lim c) lim
x" x" x"
5x2 + 4x + 3 x2 + 7 x2 - 2x + 4
2. Obliczyć granice:
sin 3x tg 2x tg x sin x
a) lim b) lim c) lim d) lim
x"
x0 x0 x0
x tg 5x x2 + x x

1 1 1 x + 3 2x 1
1-x 1-x x
e) lim(x cos ) f) lim e g) lim e h) lim i) lim (1-2x)
x"
x0
x x1+ x1- x x0+
3. Obliczyć pochodne:
a) f(x) = e2x b) f(x) = sin 3x c) f(x) = tg(1 - x) d) f(x) = ln(cos x)
x2 x2
2
e) f(x) = (x2 + 1) arcctgx f) f(x) = e-x + e g) f(x) =
ln x
" "
arc sin x
3
h) f(x) = 2 - x + sin(x2) i) f(x) = 1 + + x + 4
ln x
4. Znalez
ć granice korzystając z twierdzenia de l Hospitala:
sin x x - sin x tg(x2 + 5x) sin 3x
a) lim b) lim c) lim d) lim
xĄ
x0 x0 x0
ex - 1 x3 6x3 + 3x sin 4x
x x3 Ä„ - 2arctg x ln(1 + x2)
e) lim f) lim g) lim h) lim
1
x" x"
ex x" ex x" ln(1 + ) x - 1
x
5. Znalez
ć granice:

Ä„x 1 1
a) lim x·ln x b) lim(1-x) tg d) lim (x3-2x2+x-3) e) lim -
x"
x1 x0
x0+ 2 x sin x x2
1
x
f) lim xx g) lim (1 + 2x) h) lim (ctg x)x
x0+ x0+ x0+
6. Znalez
ć asymptoty funkcji:
x2 - 1 ln x
a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = x - arctg 2x
x + 2 x
4
7. Znalez
ć ekstrema lokalne podanych funkcji:
2 ln x 3
a) f(x) = e-x b) f(x) = c) f(x) = x-arctg 2x d) f(x) = e2x -3x2-36x+2
x
8. Wyznaczyć punkty przegięcia wykresów podanych funkcji:
2 ln x
a) f(x) = x - arctg x b) f(x) = e-x c) f(x) = d) f(x) = x - 2arctg 2x
x
9. Zbadać przebieg zmienności funkcji i narysować wykres:
2 ln x
a) f(x) = e-x b) f(x) = c) f(x) = x - arctg 2x
x
T6.
Całka nieoznaczona
1. Znalez
ć całki nieoznaczone:

x + 1
a) (x3 + 4x + 1) dx b) (2 ex - x3) dx c) " dx
x

1 1 1 (1 - x)3
d) ( + + ) dx e) " dx f) (1 + sin x + cos x) dx
3
x x2 x3 x x

g) (tgx)2 dx
2. Stosując odpowiednie podstawienie obliczyć podane całki:

dx
"
a) (2x - 3)10 dx b) c) tgx dx
2 - 5x

ln2x
d) sin 5x dx e) dx f) sin5x cos x dx
x

dx x dx arctg x
g) h) i) dx
ch x x2 + 1 1 + x2

x4 dx (arc sin x)2 dx
"
k) l)
(x5 + 1)4
1 - x2
3. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części znalez
ć całki:

a) ln x dx b) x cos x dx c) x ex dx d) x arctgx dx

e) ex sin x dx f) arc sin x dx
5
4. Znalez
ć wzory rekurencyjne dla całek:

a) (ln x)n dx b) xn ex dx
5. Wykorzystując wzory rekurencyjne obliczyć całki:

dx
a) x2 sin x dx b) c) sin4x dx
(1 + x2)2
6. Znalez
ć całki z funkcji wymiernych:

dx dx x2 - 5x + 9 dx
a) b) c) dx d)
x2 - 1 x (x + 1)2 x2 - 5x + 6 x2 - 8x + 17
7. Znalez
ć całki z następujących funkcji niewymiernych i trygonometrycznych:

1 dx 3x + 1
" "
a) " dx b) c) dx
3
x + 1
2x - x2 x2 - 4x + 5

x x
d) sin 3x cos 5x dx e) cos cos dx f) sin2 x cos x dx g) sin2 x cos2 x dx
2 3
T 7,8.
Funkcje wielu zmiennych
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

y
a) f(x, y) = 16 - x2 - y2 b) f(x, y) = arc sin
x

c) f(x, y) = ln(9-x2-y2)+ln(x2+y2-4) d) f(x, y) = ln(4-x2-y2)- x2 + y2 - 9
2. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:
x
y2
y
a) f(x, y) = xe-xy b) f(x, y) = c) f(x, y) = e ln x
x2
3. Obliczyć pochodne pierwszego i drugiego rzędu oraz sprawdzić twierdzenie
Schwarza.
x
y2
y
a) f(x, y) = x2y3 b) f(x, y) = c) f(x, y) = e
x2

d) f(x, y) = 1 - x2 + y2 e) f(x, y) = ey ln(1 + x)
6
4. Obliczyć wartości przybliżone:

a) (4.01)2 + (2.97)2 b) (0.98)3 (0.997)2
5. Obliczyć pochodne funkcji złożonej:
a) f(x, y) = x2 + xy + y , gdzie x = sin t, y = et
b) f(x, y) = x2 (1 + y2) gdzie x = ln t, y = arctg t
6. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych:
a) f(x, y) = x3 + 3xy2 - 30x - 18y
b) f(x, y) = xy(9 - x - y) c) f(x, y) = x4 + y4
d) f(x, y) = x3 + 3xy2 - 6xy + 3 f) f(x, y) = ex-y(x2 - 2y2)
g) f(x, y) = x2 + y3 - 2xy - y + 8
T 9,10.
Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe pierwszego rzędu
1. Rozwiązać równania o zmiennych rozdzielonych

a) x2 + 1 y = y2 +1 b) (x2-1)y +2xy2 = 0 c) xy + 1 + y2 arctgy = 0
2. Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych
a) y = cos2(y - x) + 1 c) xy = x + y
y
d) xy - y = x tg
x
3. Znalez
ć całki szczególne równań:
Ä„
a) y = ex+y , y(0) = 0 b) y = cos2(y - x) + 1 , y(1) =
4
7
4. Równania liniowe pierwszego rzędu
2
a) y + 2xy = xe-x b) y + y cos x = e- sin x
Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
1. Znalez
ć całkę ogólną równania:
a) y +y -2y = 0 b) y +2y +5y = 0 c) y +6y +9y = 0 d) y -4y +3y = 0
2. Znalez
ć całki szczególne równań:
a) y - 4y + 3y = 0 y(0) = 6 , y (0) = 10
b) y - 7y + 6y = 0 y(0) = 2 , y (0) = 7
Równania różniczkowe liniowe niejednorodne. Metoda przewidywań i
metoda uzmienniania stałych.
1. Znalez
ć całkę ogólną równania:
a) y - 3y + 2y = 2x2 - 9 b) 2y + y - y = 2ex c) y - 7y + 6y = sin x
2. Rozwiązać równania:
1
a) y + y = tgx b) y - 2y + y = ex ln x c) y 3 + y + 2y =
ex + 1
3. Znalez
ć rozwiązania szczególne równań:
a) y -y = -2x+2 , y(0) = 1 , y (0) = 1 b) y +4y = sin 2x , y(0) = 0 , y (0) = 0
8