Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu  Analiza matematyczna II
WETI, kierunek IBM, 2 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] a) Obliczyć całkę


z2 x2 + y2 + z2dxdydz,
V
"
gdzie bryła V opisana jest nierównościami: 0 z 4 - x2 - y2 oraz x 0, y x. Wykonać
odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych walcowych uogólnionych.
2. [7p.] a) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

y2dx + x2dy,
K
gdzie K jest krzywą o równaniu (x - 1)2 + y2 = 1 zorientowaną dodatnio. Wykonać odpowiedni
rysunek.


x

[2p.] b) Wyznaczyć rotację pola wektorowego W = xy2, , z y3 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .yz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
3. [7p.] a) Wyznaczyć całkę szczególną równania
2(xe-y - 1)dx + (ey - x2e-y)dy = 0
spełniającą warunek początkowy y(3) = 0.
4x2 + 3xy + y2
[2p.] b) Sprawdzić, czy równanie y = - jest równaniem różniczkowym jednorodnym.
4y2 + 3xy + x2
4. [7p.] Wyznaczyć całkę ogólną równania y - 6y + 9y = xe3x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych i w punkcie b) określić jej rodzaj
2
" "

32nnn (-1)n+1
"
a) b)
2
(n + 2)n
n3 + 1
n=1 n=1
"

" "
n n+1
[2p.] c) Zbadać z definicji zbieżność szeregu 3 - 3 .
n=1
6. [7p.] Rozwinąć funkcję f(x) = ln(2 + x) w szereg Taylora w otoczeniu punktu x0 = 1. Podać
przedział zbieżności otrzymanego szeregu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Funkcja f(x) = x(Ą - x) dla x " (0, Ą) posiada rozwinięcie w szereg
trygonometryczny Fouriera postaci
"

4
f(x) = [1 - (-1)n] sin nx.
Ąn3
n=1
"

(-1)n-1
W oparciu o to rozwinięcie wyznaczyć sumę szeregu .
(2n - 1)3
n=1