Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
i statystyki matematycznej
Rachunek prawdopodobieństwa  podstawowe pojęcia
1. Przestrzeń zdarzeń elementarnych &! - zbiór wszystkich możliwych wyników
doświadczenia
2. Zdarzenie elementarne � " &!.
Np. zdarzenie polegające na 10-krotnym wyrzuceniu orła w 10 rzutach monetą
lub zdarzenie polegające na trafieniu co najmniej 4 trafień w totolotku.
3. Zdarzeniom losowym odpowiadają prawdopodobieństwa ich wystąpienia.
4. P(A) - prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A
- P(&!) = 1
- 0 d" P(A) d" 1 dla każdego A" &!
- P(U An) =
"P(A ) dla dowolnego ciągu rozłącznych parami zdarzeń A1, A2K
n
- A' zdarzenie przeciwne do A; P(A') = P(&!)- P(A) = 1- P(A)
� Statystyka wykład 3 M. Osińska 1
5. Niezależność zdarzeń
P(A )" B) = P(A)�" P(B)
6. Prawdopodobieństwo warunkowe
P(A )" B)
P(A | B) =
P(B)
dla zdarzeń niezależnych
P(A )" B) P(A)�" P(B)
P(A | B) = = = P(A)
P(B) P(B)
Zmienna losowa
Funkcja X określona na przestrzeni zdarzeń elementarnych &! nazywa się
zmienna losową.
Innymi słowy:
Zmienna losowa: taka zmienna, która przyjmuje różne wartości z określonymi
prawdopodobieństwami.
� Statystyka wykład 3 M. Osińska 2
Przykłady zmiennych losowych:
1. Kontrola jakości produktów: podział na wadliwe i dobre
1 jesli � - wyrób wadliwy
ż#
X (�) =
�#0 jesli � - wyrób dobry .
�#
2. Dochody w rodzinach 3-osobowych.
3. Liczba dzieci w rodzinie.
4. Kwalifikacje zawodowe pracowników firmy X.
Realizacje zmiennej losowej X  wartości przyjmowane przez zmienną losową
oznaczane przez x.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej - jeśli znane są wartości
zmiennej losowej oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia, to znany jest
rozkład zmiennej losowej.
Liczby rzeczywiste będące realizacjami zmiennej losowej X mogą tworzyć
skończony lub nieskończony podzbiór zbioru liczb rzeczywistych R
- jeśli zbiór ten jest skończony lub przeliczalny - zmienne losowe skokowe;
- jeśli zbiór nieskończony i nieprzeliczalny  zmienne losowe ciągłe.
� Statystyka wykład 3 M. Osińska 3
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej
P(X = xi) = pi
pi e" 0
"
pi = 1 , i=1,2,3 ...
"
i=1
Dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej skokowej
F(X ) = P(X d" xi) = pi i=1,2,3 ...
"
X d"xi
0 d" F(X ) d" 1
� Statystyka wykład 3 M. Osińska 4
Zapis dystrybuanty dla uporządkowanego rosnąco zbioru wartości zmiennej
losowej
0 dla X < x1
ż#
�#
p1 x1 d" X < x2
�#
�# p1 + p2 x2 d" X < x3
F(X ) =
�#M
�#
�#
p1 + p2 + L + pn-1 xn-1 d" X < xn
�#
dla X e" xn
�#1
F(X ) jest funkcją niemalejącą: jeśli x1 d" x2 to F(x1)d" F(x2) i przedziałami stałą.
Charakterystyki rozkładu zmiennej losowej skokowej (parametry rozkładu).
" wartość oczekiwana
n
E(X ) = xi pi
"
i=1
Własności wartości oczekiwanej
- E(C) = C
- dla dowolnych składników sumy E(X + Y ) = E(X )+ E(Y )
- dla iloczynu zmiennej losowej i stałej E(C �" X ) = C �" E(X )
� Statystyka wykład 3 M. Osińska 5
" wariancja
2
n
D2(X ) =
"[x - E(X )] pi = E[X - E(X )]2
i
i=1
" odchylenie standardowe
D(X ) = D2(X )
Własności wariancji
- D2(C) = 0
- D2(CX ) = C2D2(X )
Przykład
Do tarczy oddaje się 3 strzały w sposób niezależny. Prawdopodobieństwo
trafienia do tarczy wynosi � dla każdego strzału. Niech zmienna losowa X
oznacza liczbę trafień w tarczę (T- trafienie C  chybienie).
Przestrzeń zdarzeń elementarnych
&! = {TTT ,TTC,TCT ,CTT ,TCC,CTC,CCT ,CCC}
� Statystyka wykład 3 M. Osińska 6
1
P{X = 0}= p1 =
8
3
P{X = 1}= p2 =
8
3
P{X = 2}= p3 =
8
1
P{X = 3}= p4 =
8
p1 + p2 + p3 + p4 = 1
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
xi 0 1 2 3
pi 1/8 3/8 3/8 1/8
� Statystyka wykład 3 M. Osińska 7
Dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej X
0 dla X < 0
ż#
�#
1
0 d" X < 1
�#8
�#4
�#
1 d" X < 2
�#
F(X ) =
8
�#
�#7
2 d" X < 3
�#8
�#1
dla X e" 3
�#
�#
�#
Wartość oczekiwana
1 3 3 1 3
E(X ) = 0 �" +1�" + 2 �" + 3�" = = 1,5
8 8 8 8 2
Wariancja
1 3 3 1 3
D2(X ) = (0 -1,5)2 �" + (1-1,5)2 �" + (2 -1,5)2 �" + (3 -1,5)2 �" = = 0,75
8 8 8 8 4
Odchylenie standardowe
D(X ) = 0,89
� Statystyka wykład 3 M. Osińska 8
Teoretyczne rozkłady zmiennych losowych skokowych
Rozkłady zmiennych losowych skokowych: rozkład dwumianowy i rozkład
Poissona
Model rozkładu dwumianowego
- opiera się na eksperymencie przeprowadzonym wg schematu Bernouliego;
- przeprowadzenie n (ne"2) niezależnych doświadczeń;
- rozkład dwumianowy zmiennej X: liczba sukcesów w n doświadczeniach;
- k = 0,1,..., n;
- p - prawdopodobieństwo sukcesu;
- q = (1- p) - prawdopodobieństwo porażki;
- funkcja prawdopodobieństwa
n
�# ś#
P(X = k) = ś# ź# pk (1- p)n-k
�#k #
n
"P(X = k) = 1
k =0
E(X ) = np D2(X ) = npq
� Statystyka wykład 3 M. Osińska 9
Model rozkładu Poissona
- rozkład graniczny dla r. dwumianowego  gdy n " i p 0
- funkcja prawdopodobieństwa
k
P(X = k) = e-
k!
 = np
E(X ) = 
D2(X ) = 
� Statystyka wykład 3 M. Osińska 10