SNy: Biotechnologia
Analiza matematyczna II
 kolokwium II
notatki ze studiów na kierunku Biotechnologia
na Wydziale Chemicznym Politechniki Wrocławskiej
Autor:
Mateusz Jędrzejewski
[e-mail]
www.jedrzejewski.one.pl
N otatka jest częścią projektu SNy Biotechnologia
(Studenckie Notatki Cyfrowe). Udostępniane
sÄ… one na stronie internetowej www.sny.one.pl. Ka\
dy
mo\
e za darmo korzystać z nich w celach edukacyjnych.
waga na błędy! Mimo staranności jaką wło\
yli
autorzy w opracowanie tej notatki mogÄ…
U
zdarzyć się błędy. Więc ka\
dy korzysta z tych
notatek na własną odpowiedzialność. Zauwa\
one błędy
proszę zgłaszać autorowi notatki (najlepiej drogą
elektronicznÄ…).
śyczę wszystkim skutecznego korzystania z notatek.
Mateusz Jędrzejewski
(autor strony www.sny.one.pl)
Szczegółowe informacje o notatce
Nazwa pliku: e-notatka - analiza matematyczna II - kolokwium II.pdf
Nazwa kursu: Analiza matematyczna II (MAP2005w)
ProwadzÄ…cy kurs: dr Magdalena Rutkowska
Semestr/rok: 07l (rok 1, II semestr)
Kierunek: Biotechnologia
Wydział: Wydział Chemiczny
Uczelnia: Politechnika Wrocławska
Autor notatki: Mateusz Jędrzejewski
Status: Notatka w wersji roboczej
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 2
Utworzona: 11.06.2007 23:05
Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu D. Zmodyfikowana: 12.06.2007 15:00
Kolokwium II  Zestaw D
16.06.2007 r.
zad. 1.
2
Zbadać ekstrema funkcji f (x, y) = ln(x2 + ey ) .
Dziedzina funkcji: D = !2
2
Bo x2 + ey > 0.
2
"f " 2x
(x, y) = (ln(x2 + ey ))=
2
"x "x
x2 + ey
2
2
"f " 2y Å" ey
(x, y) = (ln(x2 + ey ))=
2
"y "x
x2 + ey
2x
"f Å„Å‚
Å„Å‚
= 0
(x, y) = 0 2
ôÅ‚
ôÅ‚
Å„Å‚2x = 0
x2 + ey
ôÅ‚ "x ôÅ‚ Å„Å‚x = 0
Ò! Ò! Ò!
òÅ‚ òÅ‚ 2 òÅ‚ 2 òÅ‚
"f
2y Å" ey
ół2y Å"ey = 0 óły = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
(x, y) = 0
= 0
2
ôÅ‚
"y ôÅ‚
ół
ół
x2 + ey
(x0, y0) = (0,0)
2 2
"2 f " 2x 2(x2 + ey ) - 2x Å" 2x 2(x2 + ey ) - 4x2
ëÅ‚ öÅ‚
(x, y) = = =
ìÅ‚ 2 ÷Å‚
2 2
2 2
"x2 "x
íÅ‚ Å‚Å‚
x2 + ey
(x2 + ey ) (x2 + ey )
2
"2 f 2 Å" (02 + e0 ) - 4 Å" 02 2 Å" (02 +1) - 4 Å" 02
(0,0) = = = 2
2 2
2
"x2
(02 +1)
(02 + e0 )
2 2 2 2 2 2
ëÅ‚
"2 f " 2y Å" ey öÅ‚ 2(ey + y Å" ey Å" 2y)(x2 + ey ) - 2y Å" ey (ey Å" 2y)
ìÅ‚ ÷Å‚
(x, y) = =
2
2
2
ìÅ‚
"y2 "y
x2 + ey ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ (x2 + ey )
"2 f 2 Å" (1+ 0)(0 +1) - 0
(0,0) = = 2
2
"y2
(0 +1)
2
"2 f "2 f " 2x "
ëÅ‚ öÅ‚
(x, y) = (x, y) = = (2x Å" (x2 + ey )-1)=
ìÅ‚ 2 ÷Å‚
"x"y "y"x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
x2 + ey "y
2 2
= 2x Å" (x2 + ey )-2 Å" (-1) Å" ey Å" 2y
"2 f
(0,0) = 0
"x"y
"2 f "2 f
(0,0) (0,0)
2 0
"x2 "x"y
= = 4 > 0
"2 f "2 f 0 2
(0,0) (0,0)
"y"x "y2
Więc f (x, y) ma ekstremum w (0,0) .
"2 f
(0,0) = 2 > 0
"x2
Więc f (x, y) ma minimum w (0,0) .
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 3
Utworzona: 11.06.2007 23:05
Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu D. Zmodyfikowana: 12.06.2007 15:00
zad. 2.
Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = x3 sin( y2 - x) w punkcie (1,-1)
4 3
w kierunku wersora [- , ].
5 5
[?] W kierunku którego wektora, przyrosty funkcji f (x, y) od punktu (1,-1) są najmniejsze.
4 3
v = (- , )
5 5
(x0, y0) = (1, -1)
"f "
(x, y) = (x3 sin(y2 - x))= 3x2 sin(y2 - x) + x3 cos(y2 - x) Å" (-1)
"x "x
"f
(x0, y0 ) = 3Å"12 sin((-1)2 -1) +13 cos((-1)2 -1) Å" (-1) = 3Å" 0 -1 = -1
"x
"f "
(x, y) = (x3 sin(y2 - x))= x3 cos(y2 - x) Å" (2y)
"y "y
"f
(x0, y0 ) = 13 cos((-1)2 -1) Å" (2 Å" (-1)) = -2
"y
"f "f
ëÅ‚
grad f (x, y) = (x0, y0), (x0, y0)öÅ‚ = (-1, - 2)
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
"f
4 3 4 3 4 6 2
(x0, y0 ) = grad f (x, y) o v = (-1, - 2)o (- , ) = -1Å"(- ) + (-2) Å" = - = -
5 5 5 5 5 5 5
"v
zad. 3.
Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 3 - (x2 + y2) oraz
z = 1+ x2 + y2 . Sporządzić stosowny rysunek.
Wykres 3D&
Wykres dla y = 0 :
z = 3 - (x2 + 0) = 3 - x2
z = 1+ x2 + 02 = 1+ x2 = 1+ x
y
4
3
2
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
Szukam obszaru całkowania:
Å„Å‚ - (x2 + y2 )
ôÅ‚z = 3
òÅ‚
ôÅ‚z = 1+ x2 + y2
ół
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 4
Utworzona: 11.06.2007 23:05
Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu D. Zmodyfikowana: 12.06.2007 15:00
3 - (x2 + y2) = 1+ x2 + y2
niech: t = x2 + y2 t > 0
3 - t = 1+ t
2 - t = t
2
(2 - t) = t2
4 - 4t + t2 = t
t2 - 5t + 4 = 0
" = 25 -16 = 9 " = 3
5 + 3 5 - 3
t1 = = 4 t2 = = 2
2 2
RozwiÄ…zanie t1 odpada bo 2 - t = t Ò! 2 - 4 `" 4 Ô! - 2 `" 2 .
Więc rozwiązanie to:
t = x2 + y2 Ò! x2 + y2 = 1
Obszar całkowania:
D ={(x, y) "!2 : -1 d" x d" 1, - 1- x2 d" y d" 1- x2 }
Powierzchnie ograniczajÄ…ce:
górna: g(x, y) = 3 - (x2 + y2)
dolna: d(x, y) = 1+ x2 + y2
Objętość to:
V =
+"+"[g(x, y) - d(x, y)] dxdy = +"+"g(x, y) dxdy - +"+"d(x, y) dxdy
D D D
Zmieniam współrzędne na biegunowe:
Å„Å‚x = r cosÕ
B :
òÅ‚
óły = r sinÕ
D " " = {(Õ, r) : 0 d" Õ < 2Ä„ , 0 d" r d"1}
V =
+"+"[g(r cosÕ, r sinÕ) - d(r cosÕ, r sinÕ)] r dÕdr =
"
2Ä„ 1
=
+"dÕ+"[g(r cosÕ, r sinÕ) - d(r cosÕ, r sinÕ)] r dr =
0 0
2Ä„ 1
= [3 - (r2 cos2 Õ + r2 sin2 Õ) -1- r2 cos2 Õ + r2 sin2 Õ ]r dr =
+"dÕ+"
0 0
2Ä„ 1 2Ä„ 1
=
+"dÕ+"(2 - r2 - r)r dr = +"dÕ+"(2r - r3 - r2)dr =
0 0 0 0
2Ä„ 2Ä„
1
2 1 1 1 1 1 1 5
= r2 - r4 - r3] dÕ = - )dÕ = 2Ä„ Å"(1- - ) = Ä„
2 4 3
+"[ 0 +"(1- 4 3 4 3 6
0 0
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 5
Utworzona: 11.06.2007 23:05
Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu D. Zmodyfikowana: 12.06.2007 15:00
zad. 4.
4 6-y
Zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej f (x, y) dx .
+"dy +"
2
2- 4 y-y2
Sporządzić stosowny rysunek.
Trzeba odtworzyć obszar całkowania, ograniczenia to:
y = 2
y = 4
x = 6 - y Ò! y = -x + 6
x = 2 - 4y - y2 Ò! (x - 2) = - 4y - y2 Ò! (x - 2)2 = 4y - y2
Ò! (x - 2)2 + y2 - 4y = 0 Ò! (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4
Ò! y = 2 Ä… 4 - (x - 2)2
Jest to koło o promieniu 2 i środku (2,2).
6
y
5
4
3
2
1
x
-1 1 2 3 4 5 6 7
4 6- y 2 2+ 4-( x-2)2 4 -x+6
f (x, y) dx = f (x, y) dy + f (x, y) dy
+"dy +" +"dx +" +"dx +"
2 0 2 2 2
2- 4 y-y2
Zadania z pozostałych grup&
zad. 1.
2
Obliczyć całkę dxdy gdzie obszar D ograniczają krzywe: x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4,
+"+"x
D
3
y = x oraz y = 3 x .
3
zad. 2.
Dana jest funkcja f (x, y) = xy ln(y2 + x) . Znalez
ć taki wersor, \
e pochodna
kierunkowa w punkcie (1,0) równa się zero.
zad. 3.
Znalez
ć wartość najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = xy(4 - x - y) na obszarze
ograniczonym przez krzywe: x = 1, y = 1 oraz x - 4 = y .