METODA RÓŻNIC SKOC
CZONYCH.
Spośród metod numerycznych dotyczących rozwiązywania r. r. zw.,
metody korzystające z różnic skończonych są najbardziej zrozumiałe,
najczęściej używane i najbardziej uniwersalne.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Techniki różnic skończonych oparte są na przybliżeniach, które pozwalają
na zastąpienie równania różniczkowego przez równania różnic skończonych.
Te przybliżenia mają formę algebraiczną, wiążą wartość zmiennej zależnej
w punkcie przedziału rozwiązania z wartościami w sąsiednich punktach (węzłach).
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
Rozwiązanie problemu metodą różnic skończonych można podzielić na kilka etapów:
(1) podzielenie przedziału rozwiązania na przedziały częściowe z krokiem h,
(2) przybliżenie danego równania różniczkowego przez równoważne,
równanie różnicowe, co opowiada zależności zmiennej zależnej
w punkcie przedziału rozwiązania od jej wartości w punktach sąsiednich,
(3) rozwiązywanie równań różnicowych podlegających określonym warunkom
początkowym lub brzegowym.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Szczegółowy sposób postępowania jest podyktowany przez naturę rozwiązywanego
problemu, przedział rozwiązania i warunki początkowe lub brzegowe.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Metoda budowy schematu różnicowego dla równań różniczkowych cząstkowych
jest zbliżony do schematu r. r. zw. - "obszar całkowania" nie dotyczy jednak przedziału
całkowania lecz zbiorów z przestrzeni dwu lub więcej wymiarowej.
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
1
Konstrukcja przybliżenia (aproksymacji) danego równania różniczkowego
różnicami skończonymi.
Dla danej funkcji f(x) można aproksymować jej pochodną ( nachylenie, lub tangens)
w punkcie P przez
1. nachylenie łuku PB dane przez formułę przedniej różnicy funkcji
2. przez nachylenie łuku AP dane przez lub formułę wstecznej różnicy funkcji
=
lub
3. przez nachylenie łuku AB dane przez formułę centralnej różnicy funkcji
2
 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Drugą pochodną można aproksymować za pomocą różnicy centralnej:
.
Jakiekolwiek przybliżenie wartości pochodnej przez dyskretny układ punktów
nazywa się przybliżeniem różnicy skończonej.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Zaprezentowana interpretacja różnic skończonych jest raczej intuicyjna.
Bardziej ogólne wyrażenie można uzyskać z rozwinięcia funkcji w szereg Taylor a.
oraz gdy , otrzymamy:
.
Dodając te równania otrzymamy:
gdzie O(D�x)4 jest błędem wprowadzonym przez obcięcie szeregu.
Mówimy, że ten błąd jest rzędu (D�x)4 lub po prostu o(D�x)4.
Oznacza to, że o(D�x)4 jest nie większy niż (D�x)4.
Zakładając, że błąd ten jest pomijalny otrzymamy:
Czyli taki sam wynik jak z rozważań intuicyjnych.
3
Odejmując rozwinięcia funkcji w szeregi, i pomijając wyrażenia
rzędu (D�x)3 otrzymamy:
Wyższe rzędy aproksymacji uzyskuje się przez uwzględnienie większej liczby
elementów szeregu.
Nieskończona ilość elementów oznacza wyrażenie dokładne.
Z powodów praktycznych szeregi są obcinane po wyrażeniach rzędu drugiego.
W każdym rozwiązaniu dokonanym metodą różnic skończonych występuje błąd.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
METODA RÓŻNIC SKOC
CZONYCH
dla równania różniczkowego zwyczajnego liniowego I-rz.)
/
y (x) +� p(x) �� y(x) =� q(x)
x =� a Ł� x Ł� b, y(a =� x ) =� y ,
o o o
dla
idea: na siatce argumentu x: xi , i=1,2, ..., n
/
yi =� y(xi )
y , y
dyskretyzujemy równanie wyrażając przez ;
y =� y(x ) y =� y(x )
i+�1 i+�1 i-�1 i-�1
i
obcinając odpowiednio rozwinięcie Taylora
albo wyrażając pochodne przez odpowiednie różnice skończone, np.:
1
/
y =� [�y -� y ]�
i
i+�1 i-�1
2h
otrzymujemy dla każdego i
yi+�1 -� yi-�1
ć� ��
+� p(xi )yi =� q(xi)
�� ��
2h
Ł� ł�
4
albo inaczej
dla i = 1,2, ... , n-1 , czyli n-1 równań na n niewiadomych oraz warunkiem
początkowym .
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Otrzymamy układ liniowych równań algebraicznych i = 2, ...., n-1
Ay =� B
możemy rozwiązać znanymi już metodami.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
5
METODA RÓŻNIC SKOC
CZONYCH
dla równania różniczkowego zwyczajnego liniowego II-rzędu.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
y// +� p(x)y/ +� q(x)y =� r(x)
a Ł� x Ł� b, y(a) =� a�, y(b) =� b�
idea:
Na siatce argumentu x : xi , i=1,2, ..., n dyskretyzujemy równanie wyrażając
yi =� y(xi ) yi+�1 =� y(xi+�1) yi-�1 =� y(xi-�1)
y//, y/, y
przez
,
obcinając odpowiednio rozwinięcie Taylora
albo wyrażając pochodne przez odpowiednie różnice skończone
1
1
y// =� [�yi+�1 -� 2yi +� yi-�1]�
y/ =� [�yi+�1 -� yi-�1]� i
i
oraz
2h h2
otrzymujemy dla każdego i
yi+�1 -� 2yi +� yi-�1 yi+�1 -� yi-�1
ć� �� ��
+� p(xi )ć� +� q(xi)yi =� r(xi )
�� �� �� ��
h2 2h
Ł� ł� Ł� ł�
dla i = 2, ... , n-1 , czyli n-2 równań na n niewiadomych;
pozostałe 2 równania to
y1 =� y(a) =� a�, yn =� y(b) =� b�
y1 =� a�, yn =� b�
wstawiając wartości
do naszego równania różnicowego, otrzymamy układ n-2 liniowych równań
yi,
algebraicznych na n-2 niewiadomych i = 2, ...., n-1
Ay =� B
,
który możemy rozwiązać znanymi już metodami.
6
PRZYKA
AD.
PRZYKA
AD:
7
PRZYKA
AD. (Z wytrzymałości materiałów).
Znalez
ć ugięcie belki opisanej równaniem różniczkowym:
dla z warunkami brzegowymi: y(0) = 0 i y(1) = 0.
(belka podparta na końcach).
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
yi+�1 -� 2yi +� yi-�1 yi+�1 -� yi-�1
ć� �� ��
+� p(xi)ć� +� q(xi)yi =� r(xi )
�� �� �� ��
h2 2h
Ł� ł� Ł� ł�
Przyjmijmy h = 0,2.
Z założenia mamy, że q = p= 0.
Zatem odpowiadające równanie różnicowe przyjmie postać:
z krokiem h = 0,2 dla 1 = 1,2,3,4.
Więc dla
i = 0 y( ) = y(0) = 0
i = 1: ,
i = 2: ,4
i = 3: ,6
i = 4: ,8
i = 5: y( = = y(1) = 0
i = 0 y( ) = y(0) = 0
i = 1:
i = 2: ,4
i = 3: ,6
i = 4: ,8
i = 5: y( = = y(1) = 0
8
 i = 0 y( ) = y(0) = 0
i = 1:
i = 2: ,4
i = 3: ,6
i = 4: ,8
i = 5: y( = = y(1) = 0
Możemy teraz zapisać równanie macierzowe:
A X = B
gdzie A = B =
skąd otrzymujemy: y0 = 0,0
y1 = 0,032
y2 = 0,056
y3 = 0,064
y4 = 0,048
y5 = 0,0.
9