08 (13)


Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 1
8. Ł
8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH
8.1. Analiza kinematyczna płaskiego układu tarcz sztywnych. Układy statycznie wyznaczalne
Rozważania należy rozpocząć od wyjaśnienia pojęcia stopni swobody. Liczbą stopni swobody danego
układu nazywamy liczbę niezależnych parametrów niezbędnych do jednoznacznego określenia możliwości jego
ruchu w przestrzeni. Swobodna tarcza na płaszczyznie ma trzy stopnie swobody.
Aby układ był geometrycznie niezmienny, musi on zostać unieruchomiony. Jeżeli do układu
wprowadziliśmy tyle więzów ile ma stopni swobody, to po tym zabiegu liczba stopni swobody s tego układu
będzie równa zeru:
s=3t-r (8.1)
gdzie:
t to liczba tarcz w układzie,
r to liczba więzów (liczba stopni swobody odebranych przez więzy).
Jednak o geometrycznej niezmienności nie decyduje wyłącznie liczba więzów. Istotny jest również
sposób połączenia układu (bryły) z podłożem.
Wyjaśnijmy to na przykładach:
" Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz i trzech przegubów. W zależności od położenia przegubów
układ jest niezmienny (rys. 8.1) lub zmienny (rys. 8.2).
Rys. 8.2. Układ trójprzegubowy chwilowo geometrycznie
Rys. 8.1. Układ trójprzegubowy
zmienny
geometrycznie niezmienny
s=0
s=0
Układ jest chwilowo geometrycznie zmienny, ponieważ
Układ jest geometrycznie niezmienny.
trzy przeguby leżą na jednej prostej.
" Tarcza połączona z podłożem za pomocą trzech prętów jest układem geometrycznie niezmiennym pod
warunkiem, że kierunki więzy nie przecinają się w jednym punkcie (rys. 8.3).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 2
Rys. 8.3. Układ geometrycznie niezmienny Rys. 8.4. Układ geometrycznie zmienny
s=0
s=0
Układ jest geometrycznie zmienny, ponieważ trzy pręty
Układ jest geometrycznie niezmienny. przecinają się w jednym punkcie, tzn. istnieje biegun
chwilowego obrotu.
8.2. Układy statycznie niewyznaczalne
Aby zapisać warunki równowagi dowolnego układu sił na płaszczyznie mamy do dyspozycji trzy
równania równowagi. Jeżeli liczba więzów jest większa od liczby równań równowagi, to taki układ określa się
jako statycznie niewyznaczalny.
Rys. 8.5. Przykład układu statycznie niewyznaczalnego
Stopnień statycznej niewyznaczalności SSN, jest to liczba więzów jaką należałoby odrzucić, aby układ
stał się statycznie wyznaczalny. Więzy można odrzucić tylko w taki sposób, aby powstały układ był
geometrycznie niezmienny.
8.3. Określanie stopnia statycznej niewyznaczalności
8.3.1. Metoda I
Stopień statycznej niewyznaczalności SSN dla układów składających się z kilku tarcz połączonych
więzami można określić ze wzoru:
n=SSN =rą p1 ą2 p2 ą3 p3 -śą2 w2 ą3 w3źą (8.2)
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 3
gdzie:
r - liczba reakcji (liczba więzów, prętów podporowych),
p - liczba prętów zakończonych obustronnie przegubami (przesuwnymi i nie przesuwnymi),
1
p - liczba prętów zakończonych z jednej strony przegubem, a z drugiej strony sprężyście zamocowanym
2
(wewnętrznie lub zewnętrznie utwierdzonym),
p - liczba prętów obustronnie sprężyście zamocowanych (utwierdzonych zewnętrznie lub wewnętrznie),
3
w - liczba węzłów przegubowych (węzeł to element konstrukcji, w którym spotykają się pręty), z
2
wyłączeniem przegubów wewnętrznych, tzw. dołączonych, czyli nie obejmujących wszystkich prętów
zbiegających się w tym węzle,
w - liczba węzłów, w których zbiegają się sprężyście zamocowane pręty.
3
W p i p uwzględniamy również pręty, które łączą się z więzami podporowymi, także przesuwnymi. Do w i
1 2 2
w wlicza się również więzy podporowe, przeguby, podpory przesuwne.
3
Przykład 1
Na rys 8.6 zaznaczono przypadki prętów typu p , p , p oraz przypadki węzłów typu w i w .
1 2 3 2 3
w
3
p
3
p
2
p
1
w
2
Rys. 8.6. Układ statycznie niewyznaczalny z różnymi rodzajami węzłów i prętów
Zadanie 1
Określ stopień statycznej niewyznaczalności ramy podanej na schemacie.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 4
Zaznaczono pręty typu p dwoma kreskami, pręty typu p trzema kreskami. Liczbę reakcji w podporze
2 3
podajemy w nawiasie. Liczymy węzły i wyznaczamy SSN:
r = 10
p = 0
1
p = 5
2
p = 7
3
w = 4
2
(1)
w = 9
3
(3)
SSN=10+25+37 (24+39)=6
(3)
(2) (1)
Podpory przesuwne można zaliczyć do prętów typu p . Wynik jest ten sam.
1
r = 12
p = 2
1
p = 5
2
p = 7
3
w = 6
2
(2)
w = 9
3
(3)
SSN=12+25+37 (26+39)=6
(3)
(2) (2)
Zadanie 2
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 5
Podobnie jak poprzednio oznaczamy pręty i reakcje.
r = 8
p = 0
1
p = 5
2
p = 6
3
w = 2
2
w = 8
3
(3)
(3)
SSN=8+25+36 (22 + 38)=8
(2)
Zadanie 3
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
Zaznaczono typy prętów.
r = 5
p = 0
1
p = 2
2
p = 3
3
w = 1
2
(3)
(2)
w = 4
3
SSN=5+22+33 (21+34)=4
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 6
Zadanie 4
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
W ramie występują tylko pręty sprężyście zamocowane.
r = 5
p = 0
1
p = 0
2
p = 5
3
w = 0
2
(3)
(2)
w = 5
3
SSN=5+35 (20+35)=5
8.3.2. Metoda II
Do ramy w miejsce przegubów wprowadzamy dodatkowe więzy utwierdzające przekroje stykające się z
przegubem, zamieniając w ten sposób podpory na utwierdzenia, a połączenia prętów na sprężyście
zamocowane (wewnętrznie utwierdzone). Określamy liczbę wprowadzonych dodatkowo więzów d. Następnie
wyznaczamy stopnień statycznej niewyznaczalności nowego układu N, odrzucając myślowo wszystkie
utwierdzenia z wyjątkiem jednego (w przypadku ram zamkniętych musimy  otworzyć obieg).
Stopień statycznej niewyznaczalności układu wyjściowego n jest różnicą:
n=SSN =N -d (8.3)
Przykład 2
W ramie o podanym schemacie należy wprowadzić dwa więzy (d = 2), aby utwierdzić pręty.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 7
(+1)
d=2
(+1)
Nowy układ jest trzykrotnie statycznie niewyznaczalny (N = 3).
N=3
Wobec tego wyjściowy układ jest 1-krotnie statycznie niewyznaczalny. SSN = 3  2 = 1
Przykład 3
Pręty w ramie o podanym schemacie tworzą obieg  zamknięty .
Aby uzyskać układ statycznie wyznaczalny należy przeciąć obieg (każde przecięcie daje 3 stopnie statycznej
niewyznaczalności SSN = 3.
Jeżeli w przegubie wewnętrznym zbiegają się więcej niż dwa pręty, to taki przegub nazywamy
wielokrotnym. Liczbę sił w przegubie (niezależnych) określa wzór:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 8
Sk=2 "śąk -1źą (8.4)
gdzie:
k - liczba prętów w przegubie.
W przegubie, w którym zbiegają się 2, 3, 4 pręty liczba niezależnych sił wynosi odpowiednio 2, 4 i 6.
S2 =2 "śą2-1źą=2
S3 =2 "śą3-1źą=4
S4 =2 "śą4-1źą=6
Jeżeli w przegubie spotykają się trzy pręty, to możemy zastąpić ten węzeł w taki sposób jak na
poniższym rysunku.
=
Wobec tego, aby usztywnić ten węzeł należy wprowadzić dwa więzy (d = 2).
W przypadku prętów sprężyście zamocowanych liczbę sił niezależnych można określić według
zależności:
Sk=3 "śąk-1źą (8.4)
Dla przykładu:
3 siły wewnętrzne 6 sił wewnętrznych (3) (3)
=
Zadanie 5
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 9
Wprowadzamy dodatkowe więzy aby usztywnić połączenia (d = 6). W nawiasach podano dodatkowe więzy w
poszczególnych węzłach.
(+1)
(+1)
(+2)
(+2)
(+1)
(+2)
Odrzucamy sztywne podpory pozostawiając jedną (N = 43 = 12)
Ostatecznie SSN wynosi n = SSN = 12 - 6 = 6
Zadanie 6
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 10
Wprowadzamy dodatkowe więzy (d = 4).
(+1)
(+2)
(+1)
Następnie, aby otrzymać układ statycznie wyznaczalny odrzucamy dwie podpory i przecinamy ramę w dwóch
miejscach. (N = 23 + 23 = 12)
Stopień statycznej niewyznaczalności SSN wynosi n = SSN = 12 - 4 = 8
Zadanie 7
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 11
Aby usztywnić każdy z prętów należy wprowadzić dwa więzy (d = 2), po jednym dla każdego pręta.
(+2)
Dalej likwidujemy jedną podporę i przecinamy ramę (N = 3 +3 = 6)
Ostatecznie SSN = 6  2 = 4
Zadanie 8
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
Pręty są ze sobą sztywno połączone, wystarczy jeden dodatkowy więz podporowy (d = 1)
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 12
(+1)
Dalej odrzucamy podporę i  otwieramy obieg (N = 3 + 3 = 6)
SSN = 6  1 = 5
8.3.3. Metoda III
Ramę zamieniamy poprzez myślowe  cięcia (przecięcia prętów na kawałki) na pojedyncze tarcze.
Poprzez tarczę rozumiemy pojedynczy pręt lub grupę prętów połączonych ze sobą, o trzech stopniach
swobody. Stopnień statycznej niewyznaczalności określamy ze wzoru:
n=SSN =c-3"t (8.5)
gdzie:
c - liczba cięć, równa się liczbie odebranych więzów,
t - to liczba pojedynczych prętów lub grup prętów.
Zadanie 9
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 13
Przecinając pręt sztywny likwidujemy trzy więzy, przecinając przegub dwa więzy, a odcinając podporę
przegubowo przesuwną jeden więz. W nawiasach podano liczbę  przecinanych więzów.
(2)
(3)
(3)
(1)
(2)
(1)
Po tym zabiegu powstają dwie swobodne tarcze (t = 2).
II
I
Tak więc n = SSN = 12  32 = 6
Innym sposobem rozwiązania tego zadania jest podział układu na cztery tarcze (t = 4)
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 14
(3)
(2)
(3)
(1)
(3)
(3)
(2)
(1)
Liczba niezbędnych cięć wyniosła 18 (c = 18)
III
II
I
IV
Ostatecznie n = SSN = 18  34 =6
Zadanie 10
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
W podobny sposób jak w poprzednim zadaniu tniemy ramę na pojedyncze tarcze. W przegubie wielokrotnym
odłączamy wszystkie pręty od siebie (likwidujemy wszystkie więzy).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 15
(2)
(4)
(2)
(3)
(3)
Liczba niezbędnych cięć wyniosła 14 (c = 14), a liczba uzyskanych poprzez te cięcia tarcz jest równa 2
(t = 2)
II
I
Ostatecznie n = SSN = 14  32 =8
Zadanie 11
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
Tniemy ramę tak, aby uzyskać jedną tarczę.
(2)
(3)
(2)
Wykonaliśmy 7 cięć więzów (c = 7), przez co otrzymaliśmy 1 tarczę (t = 1).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRTOWYCH 16
A zatem n = SSN = 7  31 = 4
Zadanie 12
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
Tniemy ramę w trzech miejscach.
(3)
(3)
(2)
Wykonaliśmy 8 cięć więzów (c = 8), przez co otrzymaliśmy 1 tarczę (t = 1).
Ostatecznie n = SSN = 8  31 = 5
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater


Wyszukiwarka