WM w09 2 w10 Energia okno

Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Energia potencjalna
odkształcenia sprężystego
część B
WYKAAD 10
Literatura
Rozdz. 6, str. 98, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 2006.
str. 16, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
Literatura (dot. całkowania ,,graficznego mechaniki budowli, np.:)
NOWACKI W.: Mechanika budowli. PWN, Warszawa 1975 (rozdz. 8.2, str. 176).
BORKOWSKI A., BRANICKI CZ., I INNI: Mechanika budowli z elementami ujęcia komputerowego.
Arkady, Warszawa 1984 (rozdz. 2.1.2, str. 97).
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/1
Wytrzymałość Materiałów energia potencjalna odkształcenia
PODSUMOWANIE - Energia właściwa odkształcenia sprężystego Ś
w przestrzenny stanie naprężeń Ś jest superpozycją:
3 stanów jednoosiowych naprężenia (dla �i a" �ii, i = x, y, x ) np.
11 1
Ś = �� a" � �z = � �zz =Śzz
z
22 2 zz
6 stanów czystego ścinania (dla �ij lub trzech dla ł = 2�ij , i `" j , i, j = x, y, x) np.
ij
11 1
Ś = �ł a" � ł = (� �xy+� �yx) =Śxy+Śyx
xy xy
22 2 xy yx
11
sumując Śij po i, j = x, y, z otrzymuje się Ś = �ij�ij = [� �x+� � +� �z+� ł +� ł +� ł ].
22 x y y z xy xy xz xz yz yz
1� 3� 1�4�4�4�4�4�4� 3�
2� 4�2�4�4�4�4�4�4�4�
9 wyrazów 6 wyrazów
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/2
Wytrzymałość Materiałów energia potencjalna odkształcenia
PODSUMOWANIE - Energia właściwa odkształcenia sprężystego
1
Ś = �ij�ij , i, j = x, y, z (ł = 2�ij , i `" j )
2 ij
Przestrzenny stan wytężenia, Ś w postaci wyrażonej poprzez naprężenia, z zależności wyjściowej
11
Ś = �ij�ij = [� �x+� � +� �z+� ł +� ł +� ł ]
22 x y y z xy xy xz xz yz yz
1� 3� 1�4�4�4�4�4�4� 3�
2� 4�2�4�4�4�4�4�4�4�
9 wyrazów 6 wyrazów
eliminując odkształcenia poprzez uogólnione prawo Hooke a:
1
�x= (� -� (� +� )),
x y z
E
1
� = (� -� (� +� )),
y y x z
E
1
�z= (� -� (� +� )),
z x y
E
� �
� E
xy yz
xz
ł = , ł = , ł = G = ,
xy xz yz
G G G 2(1+ �)
1
2 2 2
�ł1 x y z
Ś = (� +� +� )2 + (1+� )(� +� +� -� � -� � -� � )�ł postać w naprężeniach ;
2 xy xz yz x y y z z x
�łłł
E
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/3
Wytrzymałość Materiałów energia potencjalna odkształcenia
PODSUMOWANIE - Energia właściwa odkształcenia sprężystego
1
Ś = �ij�ij , i, j = x, y, z (ł = 2�ij , i `" j )
2 ij
Przestrzenny stan wytężenia, Ś w postaci wyrażonej poprzez odkształcenia, z zależności wyjściowej
11
Ś = �ij�ij = [� �x+� � +� �z+� ł +� ł +� ł ]
22 x y y z xy xy xz xz yz yz
1� 3� 1�4�4�4�4�4�4� 3�
2� 4�2�4�4�4�4�4�4�4�
9 wyrazów 6 wyrazów
eliminując naprężenia poprzez uogólnione (odwrotne) prawo Hooke a:
E
� = [(1-� )�x+� (�y+�z )],
x
(1+� )(1-2� )
E
� = [(1-� )�y+� (�x+�z )],
y
(1+� )(1-2� )
E
� = [(1-� )�z+� (�x+� )],
z y
(1+� )(1-2� )
E
� =Gł , � =Gł , � =Gł G = ,
xy xy xz xz yz yz
2(1+ �)
�łłł
�
2 2 2 2 2 2
1
Ś = G +� +�z + (�x+� +�z )2 + (ł +ł +ł )śł postać w odkształceniach .
x y y
�ł� 2 xy xz yz
1-2�
�ł�ł
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/4
Wytrzymałość Materiałów energia, stany wytężenia pręta
Energia potencjalna odkształcenia sprężystego różne stany wytężenia pręta
" Rozciąganie/ściskanie osiowe, pręt o długości l ,
1
prawo Hooke a � = � ,
E
N
naprężenia � = ,
A
2
1 1 N
2
energia właściwa Ś = �� = � = ,
2 2E 2EA2
elementarna objętość przekroju dV = Adz ,
gęstość energii potencjalnej na jednostkę dz długości pręta
N
2
dEp AŚdV N 2
1 N
+"
N
= = �! dEp = dz
dz dz 2EA 2 EA
całkowita energia potencjalna odkształcenia sprężystego
pręta rozciąganego
2
l
1 N
NN N
Ep = dEp �! Ep = dz.
+" +"
l 0
2 EA
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/2
Wytrzymałość Materiałów energia, stany wytężenia pręta
Energia potencjalna odkształcenia sprężystego różne stany wytężenia pręta
" Skręcanie swobodne, pręt kołowy J0= �2dA, o długości l ,
+"
A
1
prawo Hooke a ł = � ,
G
Ms
naprężenia � = � ,
J0
2
1 1 Ms �2
2
energia właściwa Ś = �ł = � = ,
2
2 2G 2GJ0
elementarna objętość w przekroju dV = dzdA,
gęstość energii potencjalnej na jednostkę dz długości pręta
S
2 2 2
dEp AŚdV Ms
Ms 1 Ms
+"
S
= = �2dA = �! dEp = dz
2
+"
dz dz 2GJ0 A 2GJ0 2 GJ0
całkowita energia potencjalna odkształcenia sprężystego
pręta skręcanego
2
l
1 Ms
SS S
Ep = dEp �! Ep = dz .
+" +"
l 0
2 GJ0
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/4
Wytrzymałość Materiałów energia, stany wytężenia pręta
Energia potencjalna odkształcenia sprężystego różne stany wytężenia pręta
" Zginanie czyste, Jx= y2dA, pręt o długości l ,
+"
A
1
prawo Hooke a � = � ,
E
M
x
naprężenia � = y,
Jx
2
1 1 M
2
x
energia właściwa Ś = �� = � = y2,
2
2 2E 2EJx
elementarna objętość w przekroju dV = dzdA,
gęstość energii potencjalnej na jednostkę długości pręta
M
2 2 2
ŚdV
dEp
M M 1 M
+"
M
A x x x
= = y2dA = �! dEp = dz
2
+"
dz dz 2EJx A 2EJx 2 EJx
całkowita energia potencjalna odkształcenia sprężystego pręta zginanego
2
l
1 M
MM M
x
Ep = dEp �! Ep = dz .
+" +"
l 0
2 EJx
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/6
Wytrzymałość Materiałów energia, stany wytężenia pręta
Energia potencjalna odkształcenia sprężystego różne stany wytężenia pręta
ł
" Ścinanie przy zginaniu, Sx = ydA, pręt o długości l ,
+"
&! ( ył )
1
prawo Hooke a
ł = � ,
G
ł
TySx
naprężenia �ł = ,
Jxbł
ł
Ty2 (Sx )2
1 1
2
energia właściwa Ś = �ł = � = ,
2
2 2G 2GJx bł2
elementarna objętość w przekroju dV =dzdA,
gęstość energii potencjalnej na jednostkę dz długości pręta
ł
dET AŚdV Ty2 (Sx )2 Ty2 Ty2
1
+"
p
= = dA = k �! dET = k dz,
p
2
+"
dz dz 2GJx A bł2 2GA 2 GA
całkowita energia potencjalna odkształcenia sprężystego pręta w ścinaniu
ł
l Ty2
1 A (Sx )2
ET = dET �! ET = k dz , gdzie k = dA,
pp p
2
+" +" +"
l 0
2 GA Jx A bł2
k -współczynnik ścinani charakteryzuje rozkład naprężeń stycznych � ,
zależny od kształtu przekroju A, (np.: k =1.2, k2T= 2�2.5). .
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/9
Wytrzymałość Materiałów energia, twierdzenia Castigliano
Twierdzenia Castigliano
Niech �1,�2,...,�n będzie liniowo sprężystym stanem przemieszczeń
(deformacji) zgodnym co do miejsca kierunku i zwrotu
z obciążeniem zewnętrznym P1, P2,..., Pn
takim, że �i = �i(Pj ), i, j =1,2,...,n,
wówczas praca sił zewnętrznych
1
n
Lz = "i=1P�i = Lz 4� P2 ..., Pn) = Lz 4�,�2 ...,�n)
i 1
1�(P1,
4�2�,4�4�3� 1�(�4�2�,4�4�3�.
2
funkcja obciążenia funkcja przemieszczeń
I tw. Castigliano - przemieszczenie �i w miejscu i kierunku działania siły Pi równa jest
"Lz
pochodnej cząstkowej pracy sił zewnętrznych względem siły Pi �i = .
"Pi
II tw. Castigliano - siła Pi działająca w miejscu i kierunku przem. �i równa jest
"Lz
pochodnej cząstkowej pracy sił zewnętrznych względem przemieszczenia �i Pi = .
"�i
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10C/4
Wytrzymałość Materiałów energia, twierdzenia Castigliano
Dowód do I tw. Castigliano
Niech Lz = Lz (P1, P2,..., Pn),
obciążenie w dwóch etapach:
"Lz
(1) układ sił P1, P2,..., Pn + (2) mały przyrost dPi �! L(1) = Lz + dPi ,
z
"Pi
(1) mały przyrost dPi + (2) układ sił P1, P2,..., Pn �! L(2) = Lz + �idPi ,
z
"Lz
praca nie może zależeć od kolejności obciążania L(1) a" L(2) �! = �i .
zz
"Pi
cnd.
Dowód do II tw. Castigliano
Niech Lz = Lz (�1,�2,...,�n) + zaburzenie małym d�i , postępując analogicznie
"Lz
L(1) = Lz + d�i
z
"�i
lecz z przemieszczeniami �i i małym przyrostem d�i
L(2) = Lz + Pid�i
z
"Lz
praca nie może zależeć od kolejności obciążania L(1) a" L(2) �! = Pi .
zz
"�i
cnd.
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10C/11
Wytrzymałość Materiałów energia, twierdzenia Castigliano
Przykład zastosowania I tw. Castigliano
" Cienkościenny pręt o przekroju zamkniętym skręcanie (�(s), Fs,l , Ms)
uwzględniając:
� Ms
prawo Hooke a ł = i � (s) = I. wzór Bredta ,
G 2Fs � (s)
2
1 1 Ms
2
energia właściwa Ś = �ł = � = , dV = � dz ds,
2
2 2G 8GFs2�
energia całkowita
2
l l
Ms 2 2
1 Ms 1 Ms ds
�ł�łdz .
S
Ep = ŚdV = dV = � dz ds =
�ł
2 2
+" +"+"+"Ń�
+"
V V 0 0
8GFs2� 8G Fs2� 8G Fs2 �ł �
�łłł
_________________________________________________________________________________________________________________________
2
1 Ms l ds
S
Dla Ms, Fs = const �! Ep =
Ń�
+"
8 GFs2 �
z tw. Castigliano i tw. Clapeyrona ( Ep a" Lz) otrzymuje się II wzór Breda:
"Lz "Ep 1 Ml ds Ml (2Fs )2
s s
� = a" = = , gdzie Js= .
Ń�
+"
ds
"Ms "Ms 4 GFs2 � GJs
Ń�
+"
�
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10C/16
Wytrzymałość Materiałów energia, twierdzenia Castigliano
Zastosowanie I tw. Castigliano do obliczania dowolnych przemieszczeń
" Wielkości (�i,Pi), (�i,Mi), (�ij,�ij), itp. to pary energetycznie sprzężone
dla stanu rzeczywistych przemieszczeń: w, � , Ć, vT w wyniku działania obciążenia Pi mamy:
1
1 1
Ty(ły )dvT
Ms(�s)d� M (�x)dĆ
dLw = 1 N(�)dw 2
2 2 2 x
.
1 1 1 1
= N(�)� dz = Ms(�s)�sdz = M (�x)�x dz = Ty(ły )ły dz
2 2 2 x 2
Dla stanu wirtualnych przemieszczeń (oznaczonych symbolem �): �w, �� , �Ć , �vT ,
niezależnych od obciążenia Pi, a stąd od stanu wytężenia N(�), Ms(�s), M (�x), Ty(ły )
x
odpowiednia, wirtualna praca sił wewnętrzna odcinaka dz pręta przyjmuje postać:
�Lwdz = N �w = (N �� )dz Ms �� = (Ms ��s)dz M �Ć = (M ��x)dz Ty �vT = (Ty �ły )dz .
x x
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10C/18
Wytrzymałość Materiałów energia, twierdzenia Castigliano
Zastosowanie I tw. Castigliano do obliczania dowolnych przemieszczeń
"Lz
" I. tw. Castigliano mówi �i = , gdzie przemieszczenie �i jest zgodne z wektorem siły Pi.
"Pi
"Lz
" Jeśli zatem z �i = ma być obliczone pewne dowolne � to potrzebne jest energetycznie sprzężone
"Pi
obciążenie, stąd wprowadza się obciążenie fikcyjne ( P = 0) tworzące parę energetycznie sprzężoną (� , P ).
" Jeśli P jest fikcyjnym ( P = 0) obciążeniem sprzężonym z � to na podstawie tw. Clapeyrona ( Ep a" Lz),
"Ep
"Lz
I tw. Castigliano można zapisać jako � = a" .
"P "P
P=0
P=0
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10C/22
Wytrzymałość Materiałów energia, twierdzenia Castigliano
Zastosowanie I tw. Castigliano do obliczania dowolnych przemieszczeń
" Niech P oznacza obciążenie fikcyjne, a
P symbolizuje obciążenie rzeczywiste.
Na podstawie zasady superpozycji w układach liniowych:
M (P, P) = M (P) + Pg�M ,
x x x
N(P, P) = N(P) + Pg�N ,
Ty (P, P) = Ty (P) + Pg�Ty ,
gdzie M ,Ty, N siły od obciążenie rzeczywistego ( p, P,m,M ,...),
x
M ,Ty, N siły wewnętrzne od obciążenia jednostkowego(P a" 1)
x
energetycznie sprzężonego z � , (� ,1).
2
�ł�ł
"Ep kTy2 N 2
1 M
x
poszukujemy � = , gdzie dla ram Ep= ++
�ł�łdz ,
+"
�ł�ł
s
"P 2 EJx GA EA
P=0 �łłł
2 2 2
d[M (P, P)] d[(M + M P)2] d[M + 2M M P + M P2]
x x x x x x x
wobec = = = 2M M ,
x x
dP dP dP
P=0 P=0 P=0
"Ep �ł�ł
TTy NN
M M
y
x x
wzór na � przyjmuje postać � = = + k +
�ł�łdz.
+"
s
"P EJx GA EA
�łłł
P=0
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10C/29
Wytrzymałość Materiałów energia, twierdzenia Castigliano
Zastosowanie I tw. Castigliano do obliczania dowolnych przemieszczeń
Przykład: obliczyć ugięcie � w środku wspornika, uwzględnić tylko stan zgięciowy (od M (z)).
Stan obciążeń rzeczywistych P
11
M (z) = -P(1 L - z), z "[- L, + L]
2 22
_________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________
Stan obciążeń fikcyjnych P a" 1
1
M (z) = 0, z "[- L, 0],
2
1
M (z) = -1z , z "[0, + L].
2
1
M (z)M (z) = P(1 Lz + z2), z "[0, + L],
2 2
1
L
2
1
L
MM P P
2
�ł11 5 PL3
� = dz =(1 Lz + z2)dz = Lz2 + z3�ł 0 = .
2 43
+"+"
�łłł
s
EJ EJ EJ 48 EJ
0
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10C/33
Wytrzymałość Materiałów energia, twierdzenia Castigliano
Zastosowanie I tw. Castigliano do obliczania dowolnych przemieszczeń
n
"Ep
Nk Nk
dla kratownic � = = lk ,
"
"P EAk
k=1
P=0
gdzie Nk siła w k -tym pręcie od obciążenia rzeczywistego (P,t,...),
Nk siła od fikcyjnego obciążenia jednostkowego energetycznie sprzężonego z poszukiwanym � , (� ,1);
Przykład: obliczyć przesunięcie poziome �.
Dane Stan obciążeń rzeczywistych P
Stan obciążeń fikcyjnych P a" 1
n
Nk Nk -P 1 Pl
� = lk �! � = l = - .
"
EAk EA EA
k=1
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10C/38
Wytrzymałość Materiałów całka ,,graficzna z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
" niech jedna z funkcji będzie liniowa np. f2(z) = az + b, wówczas
z2 z2 z2 z2
f1(z)g� f2(z)dz = f1(z)g�(az + b)dz = a f1(z) z dz + b f1(z)dz
+" +" +"+"
z1 z1 z1 z1
= a z dA + b dA = aS1+ bA1 = aA1zC + bA1
+"+"
1
A1 A1
= A1g�(azC + b) = A1g� f2(zC ) ,
11
stąd obowiązuje
z2
f1 f2dz = A1g� f2(zC ),
+"
1
z1
z2
gdzie A1 = f1(z)dz jest polem ograniczonym funkcją f1, zaś
+"
z1
f2(zC ) wartością funkcji liniowej f2 pod środkiem ciężkości zC pola A1.
1 1
Uwaga. Jeśli funkcja f2 jest linowa obliczona wartość całki jest ścisła, określenie graficzne
jest zaszłością historyczną i nie wiąże się z metodą wykreślną z natury przybliżoną.
Jeśli f2 nie jest linowa zastosowanie powyższego postępowania daje wynik błędny.
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W 10D/7
Wytrzymałość Materiałów całka ,,graficzna z iloczynu 2 funkcji
" pola i położenia środków ciężkości funkcje najczęściej występujące w wykresach sił przekrojowych
" wykresy złożone, w przypadku kiedy wykres daje się przedstawić w postaci sumy funkcji prostych np.
f1 = f1V� + f1X�,
z2 z2
V� V� X� X�
otrzymujemy f1 f2dz = ( f1V�+ f1X�) f2dz = A1 g� f2(zC ) + A1 g� f (zC ) = A2g� f1V�(zC ) + f1X�(zC ) .
( )
+"+"
1 1 22
z1 z1
1�4�4�4� 4�4�
4�2�4�4�2 3�
1�4�4� 3�
4�2�4�4�4�
f2 - funkcja liniowa
f1 - funkcja liniowa
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W 10D/10
Wytrzymałość Materiałów całka ,,graficzna z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw. graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
Obliczyć ugięcie � w punkcie 1.
1
L
2
MM
� = dz = A2g� f1V�(zC ) + f1X�(zC ) ,
( )
+"
2 2
EJ
0
1 21
1 1 1 1�ł(- PL) + (- PL)�ł
� = (- L) Lg��ł�ł
2 3
4�2�4�3�
1�4�2�4�3� 1�2 �ł
�ł
EJ 2 2 2
1�4�2�4�3�
f1V� ( zC2 ) f1X� ( zC2 )
�łłł
A2
1 1
�ł
- PL + (- PL)�ł
1 1 5 PL3
= (- )L2g��ł�ł
3
4�2�4�3�
1�2�3� 1�2 �ł = 48 EJ .
�ł
EJ 8
1�2�3�
f1V� ( zC2 ) f1X� ( zC2 )
�ł łł
A2
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W 10D/15
Wytrzymałość Materiałów całka ,,graficzna z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw. graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
rozkład wykresu sił tnących na odcinku a,
rozkład wykresu momentów na odcinku a
M = M1 + M2 + M3,
Uwaga. Znajomość położenia miejsca zerowego
i wartości ekstremalnej na ogół nie jest konieczna
do dokonania rozkładu i obliczenia całek.
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W 10D/18
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
Chróścielewski J., Skowronek M., Witkowski W.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów

Wyszukiwarka