Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie
13. UKOÅšNE ZGINANIE
13.1. Naprężenia i odkształcenia
Ukośne zginanie pręta pryzmatycznego występuje wówczas gdy układ sił zewnętrznych po
jednej stronie jego przekroju poprzecznego pręta redukuje się do momentu zginającego M ,
którego wektor nie jest równoległy do żadnej z głównych, centralnych osi bezwładności
przekroju poprzecznego. Będziemy się starali wyznaczyć elementy macierzy naprężeń i
odkształceń oraz współrzędne wektora przemieszczenia w dowolnym punkcie pręta.
Rozważmy więc, pokazany na rys. 13.1 pręt pryzmatyczny określony w układzie osi
(X, Y ,Z), w którym oś X jest osią pręta, a osie (Y, Z) są głównymi centralnymi osiami
bezwładności jego przekroju poprzecznego. Materiał pręta jest izotropowy, liniowo sprężysty
o staÅ‚ych materiaÅ‚owych E oraz ½. W rozważanym przypadku moment zginajÄ…cy dziaÅ‚a w
płaszczyz
nie zaznaczonej szarym kolorem na rysunku, a jego wektor jest nachylony pod
kÄ…tem Ä… do osi Y.
Z
v(1,0,0)
Z
Y
Ä…
M
M
Mz
X
Ä… Y
My
II
I
A
M
płaszczyzna ślad płaszczyzny
obciążenia obciążenia
x
Rys. 13.1
Przy rozwiÄ…zywaniu postawionego zadania wykorzystamy wyniki uzyskane dla przypadku
zginania prostego.
Otóż zgodnie z zasadą de Saint-Venanta statycznie równoważne obciążenia wywołują
jednakowe stany naprężenia i odkształcenia, a jeśli tak to moment M możemy zastąpić
dwoma równoważnymi mu momentami M = M cosą i M = M siną , których kierunki
y z
są równoległe do odpowiednich osi układu odniesienia (rys. 13.1). W ten nieskomplikowany
sposób otrzymaliśmy dwa proste zginania względem osi Y i Z, dla których macierze naprężeń
są już nam znane. W obu przypadkach jedynym niezerowym elementem macierzy naprężeń
jest naprężenie normalne à . Proste sumowanie, zgodnie z zasadÄ… superpozycji, daje wzór
x
określający te naprężenia, dla rozważanego pręta, w postaci:
M
M
y
z
à = z - y (13.1)
x
J J
y z
lub, po wykorzystaniu zależności między M , M i M w formie:
y z
ëÅ‚ öÅ‚
cosÄ… sinÄ…
ìÅ‚
à = M z - y÷Å‚ . (13.2)
x
ìÅ‚ ÷Å‚
J J
y z
íÅ‚ Å‚Å‚
169
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie
Wzory określające krzywiznę osi pręta po deformacji w wyniku działania momentów M i
y
M , mają postać:
z
M M
1 1
y y
= oraz = . (13.3)
Á E J Áz E J
y y y
Z, w
Ugięcia punktów osi pręta w kierunku osi Y i Z
M
obliczamy od każdego momentu zginającego
Y, v
z
M
y
osobno, korzystając z równań różniczkowych,
które przy zwrotach momentów i układu
X
odniesienia pokazanych na rys.13.2 sÄ…
M
y
M
następujące:
z
Rys.13.2
2 2
M
d w d v M
y
z
= - oraz = (13.4)
E J E J
dx2 dx2
y z
Całkowite ugięcie osi belki jest geometryczna sumą ugięć od składowych momentów
zginajÄ…cych.
Macierz odkształceń odpowiadając temu stanowi naprężenia łatwo wyznaczymy z równań
Hooke a, i będzie ona zawierała jedynie trzy odkształcenia liniowe, z których dwa są sobie
równe.
13.2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
W tym przypadku wytrzymałości w pręcie występuje jednoosiowy niejednorodny stan
naprężenia, przy czym wartoÅ›ci naprężeÅ„ normalnych à , sÄ… liniowÄ… funkcjÄ… zmiennych y
x
oraz z i nie zależą od zmiennej x. Ponieważ jedynym niezerowym elementem macierzy
naprężeÅ„ jest à , to wnioski z analizy stanu naprężenia i odksztaÅ‚cenia dla tego przypadku,
x
dotyczące naprężeń i odkształceń głównych ich kierunków, jak i ekstremalnych naprężeń
stycznych będą analogiczne do tych, jakie były w przypadku osiowego rozciągania i zginania
prostego. Wzory (13.1) czy (13.2) pokazujÄ…, że koÅ„ce wektorów naprężenia à leżą na
x
płaszczyz
nie - płaszczyz
nie naprężeń. Krawędz
przecięcia się płaszczyzny naprężeń z
płaszczyzną przekroju poprzecznego, tj. oś obojętna, stanowi miejsce geometryczne
punktów, w których wartości naprężeń normalnych spełniają równanie:
à = 0
x
Podstawiając do niego wyrażenie (13.2) dostajemy równanie osi obojętnej dla rozważanego
przypadku:
J
y
z = tgÄ… y (13.5)
J
z
Zatrzymajmy się chwilę przy równaniu tej prostej. Jego prosta analiza pokazuje, że przy
ukośnym zginaniu:
" oś obojętna przechodzi przez początek układu współrzędnych ale jej położenie
(nachylenie) nie zależy od wartości momentu zginającego,
170
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie
" położenie osi obojętnej zależy od wartości J , J oraz ą , tzn. od geometrii przekroju
y z
poprzecznego i płaszczyzny działania obciążeń,
" oś obojętna nie pokrywa się z kierunkiem wektora momentu zginającego (tak było w
przypadku prostego zginania), odchyla się ona od niego w kierunku  minimalnej głównej
centralnej osi bezwładności przekroju poprzecznego.
Wyjątek mogłyby stanowić przekroje dla których J = J , ale wobec zerowania się
y z
momentu dewiacji J , każda oś centralna jest osią główną centralną i w takim przypadku
yz
zawsze występować będzie proste zginanie.
Powyższe spostrzeżenia są bardzo istotne z punktu widzenia wymiarowania, bo pozwalają
łatwo wyznaczyć punkty przekroju poprzecznego, w których naprężenia normalne
à osiÄ…gajÄ… wartoÅ›ci ekstremalne. Punkty te poÅ‚ożone sÄ… najdalej od osi obojÄ™tnej co wynika
x
to z liniowości wzoru określającego wartości naprężeń normalnych.
RozkÅ‚ad naprężeÅ„ normalnych à w przekroju poprzecznym prÄ™ta pokazuje rys.13.3.
x
Z
oś obojętna
Y
X
Rys. 13.3
Rozkład ten jest wynikiem dodania do siebie rozkładów z dwóch prostych zginań, tj. zginania
w płaszczyz
nie (X, Z) i w płaszczyz
nie (X, Y) (rys.13.4).
Z
Z
Mz
My
Y
Y
X X
Rys.13.4
Jak już zostało powiedziane, największe co do bezwzględnej wartości naprężenia wystąpią w
punktach najodleglejszych od osi obojętnej. Wyznaczenie położenia tych punktów przy
znajomości położenia osi obojętnej nie powinno sprawiać trudności.
Kolejny raz należy podkreślić, że wyprowadzone wzory obowiązują przy przyjętych
zwrotach osi układu odniesienia i wektora momentu zginającego. W przypadku innych
zwrotów należy we wzorach uwzględnić korektę znaków.
171
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie
13.3. Wymiarowanie prętów ukośnie zginanych
Tak jak w przypadku prostego zginania ograniczymy siÄ™ teraz tylko do wymiarowania ze
względu na stan graniczny nośności, przyjmując, że będzie on osiągnięty, jeśli przynajmniej
w jednym punkcie przekroju poprzecznego wielkość naprężenia normalnego będzie równa
wytrzymałości obliczeniowej.
Jeśli pręt wykonany jest z materiału którego wytrzymałości obliczeniowe przy rozciąganiu Rr
i ściskaniu Rc , są różne to warunek stanu granicznego nośności stanowią nierówności:
max à d" Rr i max à d" Rc
x r x c
gdzie: max à i max à - najwiÄ™ksze naprężenia rozciÄ…gajÄ…ce i Å›ciskajÄ…ce w przekroju
x r x c
poprzecznym.
W przypadku materiału o tej samej wytrzymałości obliczeniowej na rozciąganie i ściskanie
(materiał izonomiczny) warunek wymiarowania będzie jeden:
max à d" R .
x
Gdy przekrój poprzeczny pręta ma dwie osie symetrii i obrys zewnętrzny jego kształtu jest
prostokątny np. dwuteownik, prostokąt z wyciętymi otworami itp. to maksymalne naprężenia
normalne wystąpią w narożach i mają wartość:
M
M
y
z
max à = max à = + .
x r x c
Wy Wz
13.4. Przykłady
Z
Ä…
Przykład 13.4.1. Drewniana belka wspor-
płaszczyzna obciążenia
nikowa o długości l = 1.0 m i
prostokÄ…tnym przekroju poprzecznym
b = 12 cm, h = 24 cm obciążona jest na
Y
P
końcu siłą P = 4.0 kN nachyloną pod
kÄ…tem Ä… = 20° do osi pionowej (rysunek
obok). Wyznaczyć rozkład naprężeń
normalnych w przekroju utwierdzenia i
h
X
położenie osi obojętnej.
l
b
RozwiÄ…zanie
P
Ä… Z
P = 4.0 kN
Z
1
4
Mz
M
Y
X
Y
l = 1.0 m
My
M
2
kNm 3
ślad płaszczyzny
obciążenia
172
4.0
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie
Rysunek wyżej pokazuje wykres momentów zginający w płaszczyz
nie obciążenia. W
utwierdzeniu moment ma wartość M = 4.0 kNm a jego wektor będąc prostopadły do
płaszczyzny obciążenia nie jest równoległy do żadnej z głównych centralnych osi
bezwładności przekroju poprzecznego. Mamy do czynienia ze zginaniem ukośnym
(dokładniej mówiąc wraz ze ścinaniem, ale naprężenie styczne, w tym przykładzie, nie są
przedmiotem naszego zainteresowania).
Składowe tego wektora (pokazane na rysunku) w osiach głównych centralnych mają wartości:
M = M cosÄ… = 4.0 * 0.9397 =3.759 kNm, M = M sinÄ… = 4.0* 0.3420 = 1.368 kNm.
y z
Główne centralne momenty bezwładności wynoszą:
J =12* 243 12=13824 cm4, J = 24 *123 12 =3456 cm4.
y z
W przyjętym układzie odniesienia i zwrotach momentów rozkład naprężeń normalnych
określa wzór:
M
M 3.759* 103 1.368*103
y
z
à = z - y = z - y = 2.72*107 z -3.96* 107 y
x
J J
13824* 10-8 3456* 10-8
y z
Wartości naprężeń normalnych w narożach przekroju wynoszą:
à = 2.72*107( 0.12 ) -3.96* 107( 0.06 ) = 3.26* 106 - 2.38* 106 = 0.88MPa
x1
à = 2.72* 107( -0.12 ) -3.96* 107( 0.06 ) = - 3.26* 106 - 2.38* 106 = -5.64MPa
x2
à = 2.72* 107( -0.12 ) -3.96* 107( -0.06 ) = - 3.26* 106 + 2.38* 106 = - 0.88MPa
x3
à = 2.72* 107( 0.12 ) -3.96* 107( -0.06 ) = 3.26* 106 + 2.38* 106 = 5.64MPa
x4
Równanie osi obojętnej:
à = 0 2.72* 107 z -3.96*107 y = 0 z = 1.456 y .
x
OÅ› obojÄ™tna tworzy z osiÄ… Y kÄ…t 55°31 , widać jak wyraz
nie odchyla siÄ™ ona od wektora
momentu gnÄ…cego, który tworzy z osiÄ… Y kÄ…t 20°, w stronÄ™ głównej centralnej osi o
mniejszym momencie bezwładności.
Rysunki poniżej pokazują rozkład naprężeń normalnych w przekroju utwierdzenia. Rysunek
po lewej, często nazywany jest bryłą naprężeń, rysunek po prawej pokazuje rozkłady
naprężeń na krawędziach przekroju, ale daje pełny obraz tego co się dzieje wewnątrz.
à x
Z
oś obojętna
MPa
0.88
5.64 Z
5.64
oś obojętna
0.88
Y
Y
55°312
5.64
0.88
0.88
5.64
173
0.88
5.64
0.88
5.64
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie
Z
q P
Ä… Ä… = 30 °
Przykład 13.4.2. Wyznaczyć rozkład
P = 1.0 kN
Z
Y
naprężeń normalnych w przekroju
q=0.5 kN/ m
utwierdzenia belki wspornikowej o
Y
obciążeniu i przekroju poprzecznym
24 cm
X
jak na rysunku.
l = 3.0 m
12 cm
RozwiÄ…zanie
Obciążenie ciągłe q działa w płaszczyz
nie która odchyla siÄ™ od pÅ‚aszczyzny (X, Z) o kÄ…t 30°,
siła skupiona P działa w płaszczyz
nie (X, Z).
Zadanie w którym obciążenia działają w dowolnych płaszczyznach najprościej jest
rozwiązywać wykorzystując zasadę superpozycji sumując momenty od poszczególnych
obciążeń. Ponieważ momenty występują w różnych płaszczyznach sumowanie należy
wykonać z uwzględnieniem ich własności wektorowych pamiętając, że wektory momentów
są prostopadłe do płaszczyzn działania obciążeń które je wywołują.
Otrzymaną sumę należy potem rozłożyć na składowe równoległe do głównych centralnych
osi bezwładności przekroju poprzecznego. Z tego względu wydaje się, że najzgrabniej jest
rozkładać obciążenie na składowe równoległe do tych osi bo otrzymane od nich momenty
będą od razu tymi które należy wstawiać do wzoru na naprężenia normalne. I tak też
będziemy postępować w tym przykładzie.
Z
Ä…
Ä… = 30 °
Składowe obciążenia ciągłego q wynoszą:
qy = 0.250
qy = q sinÄ… = 0.5* 0.500 = 0.250 kN/m
qz = q cosÄ… = 0.5*0.866 =0.433kN/m Y
qz = 0.433
q = 0.500
Wykresy momentów w płaszczyznach układu odniesienia
obciążenie w płaszczyz
nie (X, Z)
obciążenie w płaszczyz
nie (X, Y)
P = 1.0 kN
Z Z
Y
Y
qz =0.433 kN/ m
X
X
qy =0.250 kN/ m
l = 3.0 m
l = 3.0 m
My
Mz
kNm
kNm
1.125
174
4.949
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie
Z
Składowe momentu zginającego w przekroju
utwierdzenia pokazane sÄ… na rysunku obok, a 4 1
rozkład naprężeń normalnych określa
Y
Mz = 1.125
zależność:
My = 4.949
M
M
y
z
à = z - y
x
3
2
J J
y z
Wartości naprężeń policzymy w narożach przekroju. W tym przypadku będą to punkty,
których współrzędne są maksymalne, stąd możemy naprężenia policzyć korzystając ze
wskaz
ników wytrzymałości:
2 2
J
b h2 12 * 24 J hb2 24 *12
y
z
Wy = = = =1152 cm3, Wz = = = =576 cm3.
max z 6 6 max y 6 6
M
M 4.949*103 1.125*103
y
z
à = - = - = 2.343*106 Pa = 2.343 MPa,
x1
Wy Wz
1152*10-6 576 *10-6
M
M 4.949 *103 1.125*103
y
z
à = - - = - - = - 6.249 *106 Pa = -6.249 MPa,
x2
Wy Wz
1152 *10-6 576 *10-6
M
M 4.949*103 1.125*103
y
z
à = - + = + = - 2.343*106 Pa = -2.343 MPa,
x3
Wy Wz
1152*10-6 576*10-6
M
M 4.949 *103 1.125*103
y
z
à = + = + = 6.249 *106 Pa = 6.249 MPa
x4
Wy Wz
1152 *10-6 576 *10-6
Z 2.343
6.249
oś obojętna
Y
à x
MPa
6.249
2.343
Przykład 13.4.3. Dobrać potrzebne
Z0 Y0
q
wymiary kątownika równoramiennego ze
q =11 kN/ m
Z0
względu na naprężenia normalne dla
Y0
belki obciążonej jak na rysunku jeśli
X
R = 215 MPa.
l = 3.0 m
175
2.343
6.249
2.343
6.249
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie
RozwiÄ…zanie
Obciążenie działa w płaszczyz
nie (X, Z0)
Z0 Y0
q =11 kN/m zatem wektor momentu zginajÄ…cego jest
równoległy do osi Y0 . Ponieważ jest ona
tylko osią centralną a nie główną centralną
X
występuje przypadek ukośnego zginania.
l = 3.0 m
Osie główne centralne (Y, Z) w tym przekroju
M
poprzecznym (oÅ› Z jest osiÄ… symetrii)
nachylone sÄ… pod kÄ…tem 45° do osi
centralnych (Y0, Z0). Maksymalny moment
max M = q l2/8
zginający występujący w środku rozpiętości
belki wynosi:
Z0 A
2
Y
Z
q l 11* 32
1.5
max M = = =12.375 kNm,
45°
8 8
10
oś obojętna
a jego współrzędne w osiach głównych
Mz
centralnych mają wartości:
Y0
max M
max M 12.375
4
My
wymiary w M = M = = =8.750 kNm.
y z
2 2
cm
4
10
Przyjęto kątownik równoramienny 140*140*15, którego główne centralne momenty
bezwładności mają wartości Jy = 298 cm4, Jz = 1150 cm4. Należy teraz sprawdzić czy
spełniony jest warunek stanu granicznego nośności ze względu na naprężenia normalne, który
wymaga aby:
max à d" R .
x
Maksymalne naprężenia normalne wystąpią w punkcie najodleglejszym od osi obojętnej. Jej
położenie jest łatwo naszkicować. Odchyla się ona od wektora momentu zginającego w stronę
osi Y, bo względem tej osi moment bezwładności jest najmniejszy. Nietrudno teraz stwierdzić,
że punkt A jest najodleglejszy od osi obojętnej i w osiach głównych centralnych ma
współrzędne (8.84, 5.02) cm.
Rozkład napreżeń normalnych w tym przypadku określa zależność:
M
M
y
z
à = - z - y ,
x
J J
y z
stÄ…d
M
M 8.75* 103 8.75* 103
y
A z
à = - zA - yA = - 5.02* 10-2 - 8.84* 10-2 = - 214.66 MPa
x
J J
298* 10-8 1150* 10-8
y z
A
, a ponieważ : à = max à = 214.66 < R = 215, wiÄ™c przekrój zostaÅ‚ przyjÄ™ty prawidÅ‚owo.
x x
176
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie
Przykład 13.4.4. Wyznaczyć maksymalne naprężenia normalne w przekroju poprzecznym
zadanej belki oraz maksymalne ugięcie jej osi jeśli E = 205 GPa.
Z
M = 24 kNm
Z
q = 20 kN/m
Y
Profil spawany IPES 360
Y
Huty Pokój
36 cm
Jy = 16084 cm4, Jz = 1147 cm4
X
l = 6.0 m
17 cm
RozwiÄ…zanie
M = 24 kNm
Z
Y
q = 20 kN/m
A
B
A
atwo dowieść z równań równowagi, że
X
działające w płaszczyz
nie (X, Z)
RBY = 4 kN
RAY = 4 kN x
obciążenie q wywoduje reakcje
RBZ =60 kN
RAZ =60 kN
RAZ = RBZ = 60.0kN a działający w
l = 6.0 m
płaszczyz
nie (X, Y) moment powoduje
Y
Z My(x)
reakcje RAY = RBY = 4.0 kN.
Równania momentów zginających M (x)
y
i M (x) napiszemy przyjmujÄ…c za
z
dodatnie momenty pokazane na wykresach
Y
Z
obok. I tak M (x) =60x - 20x2 2
y
M (x) = 4x
z
Mz(x)
Z
Rozkład napreżeń normalnych przy tych
ustalonych zwrotach momentów i osi układu
współrzędnych wyznacza zależność: My
Y
36 cm
M
M Mz K
y
z
à (x) = - z + y
x
J J
y z
17 cm
Z rozkładu momentów na belce można wnioskować, że maksymalne naprężenia wystąpią w
punkcie K ( jeśli mamy wątpliwości to można sprawdzić we wszystkich punktach narożnych).
Zatem:
M
M 106
y
K z
à (x) = - (-18* 10-2) + (8.5* 10-2) = (M + 6.62 M )=
x y z
893
16084* 10-8 1147* 10-8
106
= (60x - 20x2 2+ 26.48x)
893
Warunek konieczny ekstremum funkcji jednej zmiennej daje równanie, z którego
wyznaczymy położenie przekroju w którym naprężenie normalne jest maksymalne:
177
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie
K
dà (x)
x
= 60 - 20 x + 26.48= 0 x = 4.324 m.
d x
Momenty zginające w tym przekroju mają wartości:
M (4.324)= 60* 4.324 -10* 4.3242 = 72.470 kNm,
y
M (4.324) = 4* 4.324 = 17.296 kNm.
z
Stąd maksymalne naprężenia normalne w przekroju poprzecznym belki wynoszą:
72.470* 103 17.296* 103
K
à (4.324) = - (-18* 10-2) + (8.5* 10-2) =
x
16084* 10-8 1147* 10-8
= (81.103+128.174)* 106 N/m2 = 209.277 MPa.
Zajmiemy się teraz obliczeniem maksymalnego ugięcia osi belki. Przekrój poprzeczny w
którym oś belki przemieści się najwięcej nie musi się pokrywać z tym w którym występują
największe naprężenia normalne.
Ugięcia punktów osi pręta w kierunku osi Y i Z obliczymy
My
v
od każdego momentu osobno korzystając z równań
Mz
różniczkowych, które przy zwrotach momentów i układu
odniesienia pokazanych na rysunku obok są następujące:
X
Mz
2 2
My M
w d w d v M
y
z
= - oraz = - .
E J E J
dx2 dx2
y z
Obliczenie ugięcia w płaszczyz
nie (X, Z).
2
M (x)
d w(x)
y
= -
E J
dx2
y
EJ w'' (x) =10x2 - 60x
y
EJ w' (x) =10x3 3 - 30x2 +C1
y
EJ w (x) =5x4 6 -10x3 +C1x + D1
y
Kinematyczne warunki brzegowe:
1/ w (0)= 0 D1 = 0 D1 = 0
Å„Å‚
.
òÅ‚5* 64 6 - 10* 63 + 6C1 =0
2 / w(6)= 0 C1 = 180 kNm2
ół
Zatem funkcja ugięcia w płaszczyz
nie (X, Z) ma postać:
ëÅ‚ öÅ‚
1 5x4
ìÅ‚
w (x) = -10x3 +180x÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
EJ 6
y
íÅ‚ Å‚Å‚
Obliczenie ugięcia w płaszczyz
nie (X, Y).
178
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Ukośne zginanie
2
d v(x) Mz(x)
= -
E J
dx2
z
EJ v'' (x) = - 4x
z
EJ v' (x) = - 2x2 + C2
z
EJ v (x) = - 2x3 3 + C2 x + D2
z
Kinematyczne warunki brzegowe:
1/ v (0)= 0 D2 =0 D2 = 0
Å„Å‚
.
òÅ‚
2 / v(6)= 0
ół- 2* 63 3+ 6C2 = 0 C2 = 24 kNm2
Stąd funkcje ugięcia w płaszczyz
nie (X, Y) określa zależność:
ëÅ‚
1 - 2x3 öÅ‚
ìÅ‚
v (x) = + 24x÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
EJ 3
z
íÅ‚ Å‚Å‚
Całkowite ugięcie jest geometryczną sumą przemieszczeń w tych dwóch prostopadłych
płaszczyznach określoną wzorem:
f (x)= v2(x)+ w2(x) .
Podstawiając za v (x) oraz w (x) wyżej otrzymane zależności dostajemy:
2
2
öÅ‚
ëÅ‚
24x - 2x3 3öÅ‚ ëÅ‚ 5x4 6 -10x3 +180x
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
f (x)= +ìÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
EJ EJ
z y
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
= 30.328*10-6 196.635 (24x - 2x3 3) +(5x4 6 -10x3 +180x)
Miejsce wystąpienia maksymalnego ugięcia otrzymujemy z równania zerowania się
pochodnej jego funkcji:
df (x)
= 0
dx
2*196.635 (24x - 2x3 3)(24 - 2x2) + 2* (5x4 6 -10x3 +180x)(20x3 6 - 30x2 +180)= 0
2 2
196.635 (24x - 2x3 3) +(5x4 6 -10x3 +180x)
którego rozwiązaniem jest x = 3.387 m.
Maksymalne ugięcie wynosi:
max f = f (3.387)= 30.328* 10-6 * 844.148 = 0.0256 m = 2.56 cm.
Składowe tego przemieszczenia są równe:
v(3.387)= 2.355 cm i w(3.387)=1.003cm.
179